试卷类型：A
2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
若
(b∈R)为纯虚数,则b的值为．
A．-1 B．1 C．-2 D．4
2． 在等差数列
中，
，则
的值是．
A．15 B．30 C． -31 D．64
3． 给出下列命题：
①
若平面
内的直线
垂直于平面
内的任意直线，则
；
②
若平面
内的任一直线都平行于平面，则
；
③
若平面垂直于平面，直线在平面内，则
；
④
若平面平行于平面，直线在平面内，则
．
其中正确命题的个数是．
A．4 B．3 C．2 D．1
4． 
已知函数
，则
的反函数
的图像大致为．
5． 定义集合M与N的运算：
，则
A．
B．
C．
D．
6． 已知
，其中
，则
的值为．
A．
B．
C．
D．
7． 已知平面上不同的四点A、B、C、D，若
，则三角形ABC一定是．
A．直角或等腰三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形
8． 直线：
与直线：
的夹角为．
A．
B．
C．
D．
9． 设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若
，则a的取值范围是．
A．
B．
C．
D．
10．
若
，则
的大小关系为．
A．
B．
C． 
D．
11．
点P是双曲线
的上支上一点，F1、F2分别为双曲线的上、下焦点，则
的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是．
A．
B．
C．
D．
12．
一个三棱椎的四个顶点均在直径为
的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条
侧棱长是另一条侧棱长的2倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．
A．3 B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．设函数
在
处连续，则实数
的值分别为 ．
14．以椭圆
的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程为
．
15．如图，路灯距地面8m，一个身高1.6m的人沿穿过路
灯的直路以84m/min的速度行走，人影长度变化速率
是 m/min．
16．在直三棱柱
中，有下列三个条件：
①
；②
；③
．
以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成
的真命题是
（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
R．
(Ⅰ)求函数的最大值；
(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到
R的
图像？
18．（本小题满分12分）
已知数列
的首项
，且
．
(Ⅰ) 设
，求数列
的前n项和
；
(Ⅱ)求使不等式
成立的最小正整数n．(已知
)
19．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为
和
，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．
(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；
(Ⅱ)求甲获胜的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
为直角梯形，且
，侧面
为等
边三角形，且平面APD
平面ABCD．
(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，
平面MDB，并证明之；
(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；
(Ⅲ)若点G为
的重心，求二面角
的大小．
21．（本小题满分12分）
如图，已知A1、A2为双曲线C：
的两个顶点，过双曲线上一点B1作x轴的垂线，交双
曲线于另一点B2，直线A1B1、A2B2相交于点M．
(Ⅰ)求点M的轨迹E的方程；
(Ⅱ)若P、Q分别为双曲线C与曲线E上不同于
A1、A2的动点，且
(
R,且
)，
设直线A1P、A2P、A1Q、A2Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试问k1+k2+k3+k4是否为定值？说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知函数
(
R, a,b为实数)有极值，且在处的切线与直线
平行．
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)设
，的导数为
，令
，求证：
．
2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷
数学(理科)参考答案
一、选择题： DABCD ADAAD BC
二、填空题： 13．
； 14．
； 15．21；
16．①②
③；①③②；②③①．
三、解答题：
17．(Ⅰ)
………………………………………（2分）
…………………………………………（4分）
当
，即
时，
有最大值1．此时函数的值最大, 最大值为．……（6分）
(Ⅱ) 将
的图像依次进行如下变换：
① 把函数的图像向上平移个单位长度，得到函数
的图像； …………………………………………（8分）
② 把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数
的图像； …………………………………………（10分）
③ 将函数的图像向左平移
个单位长度，就得到函数
的图像．
…………………………………………（12分）
（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）
18．(Ⅰ)由
得
可知数列
是以
为首项，公比为的等比数列．
. …………………………………………（4分）
从而有
．
………①
………②
① - ②并整理得
． ………………（8分）
(Ⅱ) 
两边取常用对数得：
∴使不等式成立的最小正整数n为30． ………………………………（12分）
19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：
, …………………………………………（1分）
甲、乙各投中两次的概率：
, …………………………………（2分）
甲、乙各投中一次的概率：
, …………………………（3分）
甲、乙两人均投三次，三次都不中的概率：
, …………………………………………（4分）
∴甲、乙平局的概率是：
． ……………（6分）
(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：
,
…………………………………（8分）
甲投中两球获胜的概率：
,
………（9分）
甲投中一球获胜的概率：
,
…………………………（10分）
甲获胜的概率为：
． ………………………（12分）
20．(Ⅰ) 当M在中点时，平面MDB ………………………………（1分）
连结BM、DM，取AD的中点N，连结PN、NB．
∵
且面
面ABCD， ∴
面ABCD．
在
中，
又
． 
……………………………………（3分）
又
，
又
面MDB．
……………………（4分）
(Ⅱ)
面PDC，
面PDC，∴
面PDC．
∴AB到面PDC的距离即A到面PDC的距离． ………………（6分）
面PAD，
又
面PDC，∴面面PDC．
作
，AE就是A到面PDC的距离，
, 即AB到平面PDC的距离为
． ………………（8分）
(Ⅲ)过M作
于F，连结CF．
面MBD，
就是二面角的平面角．
………………（10分）
在
中，
又
．
即二面角的大小是
． ……………（12分）
21．(Ⅰ) 设
、
且
，由题意
、
，
则直线A1B1的方程为：
………①
直线A2B2的方程为：
………② …………（2分）
由①、②可得
………………………………（4分）
又点在双曲线上，所以有
，
整理得
，
所以点M的轨迹E的方程为（
且
）．……（6分）
(Ⅱ) k1+k2+k3+k4为定值．
设
，则
，
则
……③
设
，则同理可得
……④ ………（8分）
设O为原点，则
．
∴O、P、Q三点共线， ………………………………（10分）
∴
, 再由③、④可得，k1+k2+k3+k4 = 0
∴k1+k2+k3+k4为定值0． ………………………………（12分）
另解：由，
得
即
∴,
再由③、④可得，k1+k2+k3+k4 = 0
22．(Ⅰ) ∵
∴
由题意
……①
………………………………………（2分）
∵有极值，∴方程
有两个不等实根．
……②
由①、②可得，
．
故实数a的取值范围是
…………（4分）
(Ⅱ)存在
，
………………………………………（5分）
由(Ⅰ)可知，令
，
| x |
| x1 |
| x2 |
|
|
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
| 单调增 | 极大值 | 单调减 | 极小值 | 单调增 |
时，取极小值， ………………………………………（7分）
则
, 
或
，
若
，即
，则
（舍） ………………（8分）
若，又
，
,
, 
,
,
∴存在实数a =
，使得函数的极小值为1． …………（9分）
(Ⅲ) 
,
,
． …………………………………（10分）
≥
∴其中等号成立的条件为．
…………………………………（13分）
∴ …………………………（14分）