2005年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛参考答案
一、选择题
1.D； 2.C ； 3.A； 4.B； 5.D； 6.A
二、填空题
1. 
； 2. 
； 3. 
； 4. 
； 5. 
6. 当
≥
时,
；当
＜＜时,
三、1.在直角坐标平面中，
的两个顶点
的坐标分别为
，
，平面内两点
同时满足下列条件：①
；②
；③
∥
（1）求的顶点
的轨迹方程；
（2）过点
的直线
与（1）中轨迹交于
两点，求
的取值范围
解：（1）设
点在线段
的中垂线上
由已知
又
∥ 
又
顶点的轨迹方程为
(2)设直线方程为：
，
，
由
消去
得：
①
， 
而
由方程①知 
＞
＜
＜
＜
四、若
为复数集1≤
≤
，且对
≤
≤
都有
求证：对一切正整数都有
证明：设
易知
即：
……
则
由已知≤≤都有
，可得
即
故
有零根，不妨设为
，
反复上述方法可得：
故对一切正整数都有
五、求满足
的最小正整数
解：设
，
，
则
易知
,故
由
，故可设
由
，下证
当
时， 上式显然成立
假定
时，有
，
则 当
时
易知 
, 以及 
则 
≥
≥
从而使
的最小正整数为
六、一个正方形被剖分为4个正方形，剖分图的边数为12，若一个正方形被剖分为2005个凸多边形，试求剖分图中边数的最大值。
解：由欧拉定理可知，简单多面体的顶点数，面数
，棱数
有关系：
由欧拉定理容易看出，若一个凸多边形被剖分为个凸多边形，则剖分图中的顶点数，多边形数，边数有关系： 
（1）
下面在一般的情况下，即正方形被剖分为个凸多边形时，求剖分图中边数的最大值，设剖分图中的顶点数为，多边形数为，边数为
（一）先求边数的上界
设原正方形的4个顶点是
，若凸多边形的顶点V
则易知
≥
（这里用表示通过顶点
的边数），于是有 ≤
这样的顶点有
个，于是有个上面的不等式，将它们相加求和，并注意到除去正方形四边的每条边恰是两个凸多边形的边，有
≤
即有 
≥
因为 
≥，
≥，
≥，
≥，
所以 
≥
（2）
由公式（1），有
，
（3）
将（2）式代入（3）式，并整理有
≤
≤
（4）
（二）构造例子，使边数
过正方形的一边相继作
条邻边的平行线，正方形被剖分为个矩形，
易知，边数
综合两方面，剖分图中边数的最大值为，所以正方形剖分为个凸多边形的边数最大值为