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2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高三第三轮数学综合测试（1）
YCY
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别
表示上、下底面周长,
表示斜高或母线长
球的体积公式
其中
表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若
且
，则
是 （ ）
A．第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第三象限角 D．第二或第四象限角
2．给出两个命题：
：
的充要条件是
为正实数；
：不等式
取等号的条件是
异号，则下列哪个复合命题是真命题 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．设等差数列
的公差为2，前
项和为
，则下列结论中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．复数
的值等于 （ ）
A．1 B．－1 C．
D．
5．过点
作直线与圆
交于A、B两点，如果
，则 （ ）
A．的方程为
;
B．的方程为
;
C．的方程为
;
D．的方程为
;
6．函数
的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
7．如果
，那么下列不等式中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．设函数
在
处连续，且
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的
，经过这三点的小圆的周长为
，则这个球的表面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为
，值域为
的“同族函数”共有 （ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
11．6支签字笔与3本笔记本的金额之和大于24元，而4支签字笔与5本笔记本的金额之和小于22元，则2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是 （ ）
A．3本笔记本贵 B．2支签字笔贵 C．相同 D．不确定
12．如图，在
中，
，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．已知A箱内有红球1个和白球5个，B箱内有白球3个，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A箱，则红球由A箱移入到B箱，
再返回到A箱的概率等于 .
14．已知函数
是偶函数，
是奇函数，
它们的定义域是
，且它们在
上的
图象如图所示，则不等式
的解集
是 .
15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M
是BC的中点，则D1B与AM所成角的余弦值
是 ．
16．如图,一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平
板手推车，其平板面为矩形，宽为1m.问:要想
顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超
过 米.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随击变量
与
，且、的分布列为：
 |
（１）求
的值； （2）甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3的概率谁大？
（3）计算、的期望和方差，并以此分析甲乙的技术状况.
18．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，当
时，
．
（1）求当
时的解析式；
（2）试确定函数
的单调区间，并证明你的结论；
（3）若
且
，证明：
.
19．（本小题满分12分）在四棱锥
中，
,
,
底面
, 
，直线
与底面
成
角，点
分别是
的中点．
（１）求二面角
的大小；
（２）当
的值为多少时，
为直角三角形.
20．（本小题满分12分）已知在轴上有一点列：
，点
分有向线段
所成的比为
，其中
，
为
常数，
.
（１）设
，求数列的通项公式；
（２）设
，当变化时，求
的取值范围.
21．（本小题满分12分）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口O，一艘机艇以40km/h的速度从O港出发，先沿东偏北的某个方向直线前进到达A处，然后改向正北方向航行，总共航行30分钟因机器出现故障而停在湖里的P处，由于营救人员不知该机艇的最初航向及何时改变的航向，故无法确定机艇停泊的准确位置，试划定一个最佳的弓形营救区域（用图形表示），并说明你的理由.
22．（本小题满分14分）如图，设
的面积为
，已知
．
（1）若
，求向量
与
的夹角
的取值范围；
（2）若
，且
，当
取最小值时，建立适当的直角坐标系，求
以
为中心，
为一个焦点且经过点
的椭圆方程．
高三数学（一）参考答案
一、选择题
C D C A A D A B C C B A
提示：3。可理解为首项是
，公差是
的等差数列，故
4．只要注意到
，即可迅速得到答案.
5．此题可转化为求过点的直线，与圆相交所得的弦长是否为的问题.
6. 应注意到函数是奇函数, 可排除A, B选项, 代数值
检验即得D.
8. 特殊值法, 令
, 得
.
9. 由已知得小圆半径
, 三点组成正三角形, 边长为球的半径, 所以有
, 
, 所以球的表面积
.
10. 由题意知同族函数的定义域非空, 且由
中的两个(这里
和
中各有一个), 或三个, 或全部元素组成, 故定义域的个数为
.
11. 设签字笔与笔记本的价格分别是, 2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是
, 即
,已知
,
,在直角坐标系中画图,可知直线的斜率始终为负, 故有
, 所以选B.
12. 设
, 则在椭圆中, 有
, 
, 而在双曲线中, 有
, 
, ∴
.
二、填空题13．
14． 
15．
16．
提示: 15. 设正方体的棱长为
, 过
点作直线
交
的延长线于
, 连
, 在
中, 
, 
, 
, ∴ 
.
16. 设
, 则有
,
根据小车的转动情况, 可大胆猜测只有
时, 
.
三、解答题
17．（1）∵ 
, ∴
, 同理
. -------3分
（2）
, 
,
∴
-------------------3分
（3）
----8分
同理
----------10分
由计算结果
，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但
，
说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术水平都不够全面. --------12分
18．（１）若
，则
， ∵函数是定义在上的偶函数，
∴ 
----------3分
（２）当时，
． --------------6分
显然当
时,
;当
时,
，又在
和处连续，
∴函数在
上为减函数，在
上为增函数. -----------8分
（3）∵函数在上为增函数，且
，
∴当
时，有
，------------------10分
又当
时，得
且
， 即
∴
即得.
----------12分
19．（１）由已知
, 得
平面
,
又
, ∴
平面, 
∴
为二面角的平面角.
----------3分
由已知
, 得
,
∵
是
斜边 上的中线, 
∴
为等腰三角形, 
,
即二面角的大小为
.
-------------6分
（２）显然
. 若
, 则
平面
,
而平面，故平面与平面重合，与题意不符.
由是
，则必有
，
连BD，设
，由已知得
，从而
，
又
，∴
，得
，
故
平面
，
-----------8分
∴
，又
，∴
平面
, ∴
，反之亦然.
∵
∴ 
, ∴
∽
-------10分
∴
.
--------12分
20．（１）由题意得
，
-----------3分
又
， ∴数列是首项为、公比为
的等比数列，
∴
--------------6分
（2）∵
, 
∴
， 
---------10分
∴当时， 
------------12分
21．以为原点，湖岸线为轴建立直角坐标系，
设OA的倾斜角为，点P的坐标为
,
，则有
-------------6分
由此得
即
故营救区域为直线
与圆
围城的弓形区域.(图略)--------12分
22．（１）由题意知
， 可得
．
∵
， ∴
， 有
． --------4分
（２）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设
，点的坐标为
，
∵
， ∴
， 
． -------6分
∴
, ∴
． ------8分
设
，则当
时，有
．
∴
在
上增函数，∴当
时，取得最小值
，
从而取得最小，此时
．
---------------------11分
设椭圆方程为
，
则
，解之得
，故
．--------14分