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2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高三第三轮数学综合测试（5）
YCY
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别
表示上、下底面周长,
表示斜高或母线长
球的体积公式
其中
表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合
，在图中能表示从集合
到集合
的映射的是
（ ）
2．要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况. 应采用的抽样方法是 （ ）
A．①用随机抽样法 ②用系统抽样法 B．①用分层抽样法 ②用随机抽样法
C．①用系统抽样法 ②用分层抽样法 D．①、②都用分层抽样法
3．已知
则y与x的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D． 
4．已知命题
：函数
的值域为，命题
：函数
是
减函数，若或为真命题，且为假命题，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．或
5．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是 （ ）
6．直线l是双曲线
的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l分成弧长为2比1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．电流强度
（安培）随时间
变化的函数
的
图像如图所示，则当
（秒）时的电流强度是（ ）
A．0安培 B．10安培
C．10安培 D．5安培
8．
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
=
在点
处连续，则的值是 （ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－4
10．在宽2公里的河两岸有
两个城市，它们的直线距离为10公里，城到河岸的垂直距离
公里，城到河岸的垂直距离
公里，现要选址建桥，使得从到的路程最短，则最短路程为（河两岸近似看作两条平行直线） （ ）
A．10公里 B．
公里
C．
公里 D．
公里
11．以双曲线
的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线的方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．点P的曲线
上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分.)
13．若
，则
＝__________
_．
14．海面上,地球球心角1′所对的大圆弧长约为1海里,在赤道上，东经140°与西经130°的海面上有两点A、B。则A、B两点的球面距离是_____ ___海里．
15．对曲线离心率
等于
（其中
、
）的不同形状的双曲线个数为____________ ．
16．函数
满足是偶函数，又
，
为奇函数则
________ __．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，每支代表队
要抽3次，每次只抽一道题回答．
（1）不放回的抽取试题，求只在第三次抽到判断题的概率；
（2）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数
的概率分布及的期望．
18．（本小题满分12分）
设函数
，
，
；
（1）若在
上是增函数，求的取值范围；
（2）求在上的最大值．
19．(本小题满分12分)
如右图所示，点
分别是正方体
上
的点．
（1）若
，求证：无论点在
上如何移动总有
丄
；
（2）若
且丄平面
，求二面角
的大小；
（3）棱
上是否存在这样的点，使得平面
丄平面
？证明你的结论.
20．(本小题满分12分)
设一次函数的图像关于直线
对称的图象为
，且
，若点
在曲线上，并有
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求
的值.
21．(本小题满分12分)
如图所示，平地上有一条水沟，沟沿是两条长100
的平行线段，沟宽
为2，
与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为
，对称轴与地面垂直，
沟深
，沟中水深1.
（1）求水面的宽；
（2）现要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
22．（本小题满分14分）
已知在平面直角坐标系
中，向量
，
的面积为
，且
，
．
（1）设4＜＜
，求向量
与
的夹角
的取值范围；
（2）设以原点为中心，对称轴在坐标轴上，以
为右焦点的椭圆经过点
，且
，当
取最小值时，求椭圆的方程.
高三数学（五）参考解答及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分.
（1）D （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D
（7）A （8）A （9）B （10）B （11）B （12）B
提示：
1．考查映射的概念 3．注意定义域 4．真假或假真
9．根据
可解
二、填空题：每小题4分，共16分.
（13）2101
（14）5400海里
（15）
（16）2003
提示：16．为周期函数，周期为4
三、解答题：
17、(1)若不放回抽取三道试题有
种方法，只在第三次抽到判断题有
种方法。
则只在第三次抽到判断题的概率
.…………4分
（2）若有放回的抽取试题，每次抽取到的判断题概率为
，且相互独立。所以在三次抽取中抽到判断题的个数的概率分布为：
………8分
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
…………10分
～
…………12分
18. 解：当时，
(1）要使在上是增函数，
在上恒成立。
即
在上恒成立。
而
在上的最小值为，又 
…………6分
(2）ⅰ）时，在上是增函数，
…………8分
ⅱ）
时，
，得
当
时，
；当
时，
…………12分
19、（1）证丄平面
；……4分 （2）所求角的大小为
；……8分
（3）存在点P，且P为的中点，使得平面
丄平面
，先证明
丄平面，再取
中点E，连结
，有∥，从而丄平面，故结论成立. …12分
20.（1）设
.
由
. ①
，在曲线上，
②
由①②得
故曲线的方程为
…………5分
由点
.于是
.
即
…………8分
（2）
…………12分
21.（1）建立直角坐标系，设抛物线的方程为
.
于是抛物线的方程为
.
.……4分
（2）设
，
即
.于是，
…………8分
令
.…………10分
S最小，此时所挖土最少，这时
因此，当
时，所挖土最少。…………12分
22、
（1）由
，由
，得
.…………3分
4＜＜ 
夹角的取值范围是
.…………6分
（2）设
…………10分
椭圆长轴
故所求椭圆方程为
.…………14分