2002－2003学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学测试题—数列、数学归纳法（7）
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．数列{an}中，已知
等于（ ）
A．33 B．21 C．17 D．10
2．数列{an}中，
等于 （ ）
A．163 B．164 C．165 D．166
3．已知
是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，则A=
B=
的大小关系是 （ ）
A．A>B B．A<B
C．A=B D．不确定，由公比q的取值而定
4．等差数列的前10项之和是前5项之和的4倍，则它的首项a1与公差d的比
=（ ）
A．
B．2 C．
D．4
5．设{an}是公差为2的等差数列，
等于 （ ）
A．－50 B．50 C．16 D．82
6．在等比数列{an}中，已知
（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
7．在50—350之间所有个位数字是1的整数之和是 （ ）
A．5880 B．5339 C．5208 D．4877
8．若
的前n项和是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．均不为0的三个复数
成等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．它们的辐角主值成等差数列
B．它们的模成等比数列
C．它们的模成等比数列且辐秀主值成等差数列
D．以上都不正确
10．数列{an}的前n项和为Sn，P为常数，且满足
，
又已知
（ ）
A．2 B．1 C．
D．不确定
二、填空题（本题11—14小题每题4分，15—16小题每题5分，共26分）
11．在等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，已知
.
12．在等差数列{an}中，
最大时，n的值是
.
13．在等差数列{an}中，
恰等于这个数列中连续5项之和，这连续的5项是
.
14．在等差数列{an}中，它的前n项和记为Sn，已知
，
则n的值是 .
15．在无穷递缩等比数列{an}中，已
则
.
16．在等差数列{an}中，已知公差d=5，前20项的和
.
三、解答题
17．（本题满分12分）
数列{an}的前n项和为
若将此数列按如下规律编组：
……，求第n组的n个数之和.
18．（本题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，已知
、b2、c2成等差数列，求证：ctgA、ctgB、ctgC也成等差数列.
19．（本题满分12分）
在平面上有n个圆，任两个圆都相交于两个交点，任三个圆不交于同一点，记这n个圆把平面分成的区域个数为
，
、f(2)、f(3)、f(4)，猜想f(n)的表达式，并证明它.
20．（本题满分12分）
已知
成等比差数列（n为正偶数）.又
的3的大小.
21．（本题满分12分）
已知数列{an}的首项
是以p为公比的等比数列. {an}的前n项和为
（1）试问：S1，S2，S3……，Sn，……能否构成等差数列或等比数列，给出证明；
（2）设
22．（本题满分14分）
数列{an}的前n项和为
（1）求通项an；
（2）是否存在常数a、b，使得对一切自然数n都有
成立.若存在，求
出a、b的值；若不存在，说明理由.
高三数学测试题参考答案
七、数列、数学归纳法
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．A
二、填空题
11．18；12．n=6或n=7； 13．
； 14．n=15; 15．－2；16．2000
三、计算题
17．解：由
由于n=1也成立，
分组是（5），（9，13），（17，21，25），……，
设{an}：5，9，13，…，所求第n组中n个数的和应为
18．解：
、b2、c2成等差数列，故
、ctgB、ctgC成等差数列.
19．解：一个圆把平面分成两部分，
两个相交的圆把平面分成4部分，
，下面用数学归纳法给出证明：
一个圆把平面分成2个部分，猜想成立.
2°假设当n=k时，k个圆把平面分成f(k)=k2－k+2个部分，那么当n=k+1时，平面上有k+1个圆，任取其中一个圆记作Ck+1，其余的k个圆由归纳假设知，把平面分成f(k)=k2－k+2个部分.由于任两个圆都有两个交点，任三个圆不交于同一点，所以圆Ck+1与其余k个圆相交的交点数为2k，这2k个交点把圆Ck+1分成2k段弧，每段弧都把原来的平面区域一分为二，这样共增加了2k个平面区域.这时k+1个圆把平面分成的区域就是f(k+1)=(k2－k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2－(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，猜想也成立.
由1°、2°可知，对一切自然数n，满足题目条件的n个圆把平面分成的区域数为
f(n)=n2－n+2.
20．设等差数列{an}的公差为d，及f(1)=n2,f(－1)=n，得
二式相减得：
21．①
时an是以P为公比的等比数列，
又
能构成等比数列，但不能构成等差数列.
②
22．①
②假设存在这样的a,b，使得对一切自然数n都有
则
令
∴存在这样的数