高2005级第二次月考数学试题
-------------命题人：黎光礼
(各位考生注意：本试题文理同卷，请分清自己的科别及试题)
一、选择题：本题共12题，每小题5分，满分60分。
1、设集合
，
，若M∩N=Φ，则实数
的取值范围是（ ）.
| A、 | B、 | C、 | D、 |
2、命题“p或q”是假命题，则下列判断正确的是（ ）.
| A、命题“非p”与“非q”真假不同 | B、命题“非p”与“非q”至多一个是真命题 |
| C、命题“非p”或“非q”是假命题 | D、命题“非p”且“非q”是真命题 |
3（理科）、如果不等式
<1成立的充分非必要条件是
，则实数a的取值范围是（ ）.
| A、 | B、 | C、 | D、 |
或
或
（文科）、条件“
”是条件“
”的（ ）条件.
| A、充分非必要 | B、必要非充分 | C、充要 | D、非充分又非必要 |
4、函数
的反函数是（ ）.
| A、 | B、 |
| C、 | D、 |
5、拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由
给出，其中
，[m]是大于或等于的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）.
| A、3.71 | B、3.97 | C、4.24 | D、4.77 |
6、设
，实数
满足
，则y关于x的函数图像大致形状是（ ）.
|
A B C D
7、定义域为
的函数
是偶函数且在
上是增函数，在
上是减函数，又
，则（ ）.
| A、在 | B、 在 |
| C、在 | D、在 |
上是增函数且最大值是68、已知函数
是上的偶函数，当
时的解析式为
，且直线
是的一条对称轴，则在
的解析式是（ ）.
A、
B、
C、
D、
9、已知是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当
时，
，
则
的值为 （ ）.
| A、－5 | B、 | C、 | D、－6 |
10、
如图，点P在边长为1的正方形ABCD边上运动，设点M是CD边的中点，点P沿A®B®C®M运动时，点Ｐ经过的路程记为x，△APM的面积为y，则函数y=f(x)的图象只可能是（ ）.
11、已知定义在实数R上的函数
不恒为零，同时满足
且当x>0时，
，那么当
时，一定有（ ）.
| A、 | B、 | C、 | D、 |
12（理科）、方程
有五个不相等的实数根，则这五根之和为（ ）.
| A、5 | B、10 | C、 | D、 |
（文科）、方程
有负根，则实数a的取值范围为（ ）.
| A、 | B、 | C、 | D、 |
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分.
13、函数
在区间[2，4]上的最大值是_______.
14（理科）、函数
上是增函数，则数p的取值范围是_______.
（文科）、若
则 0、1、
、
的大小关系是_______.
15(理科)、设奇函数
上是增函数，且
若函数
对所有的
都成立，当
时，则t的取值范围是_______.
（文科）、若奇函数在
上单调递增，且
，则不等式
的解为_______.
16、已知函数
的图象与函数g（x）的图象关于直线
对称，令
则关于函数
有下列命题：
①的图象关于原点对称； ②为偶函数；
③的最小值为0； ④在（0，1）上为增函数.
其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）.
高2005级第二次月考数学试题
答 题 卷
一、选择题：本题共12题，每小题5分，满分60分.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分.
13、 . 14、 .
15、 . 16、 .
三、解答题：本题共6小题，满分74分.
17、（文科12分）已知
（1≤x≤4），
求:函数
的最大值和最小值.
18、（12分）设函数
为奇函数，又
，且
在
上递增.
⑴求
的值；
⑵当
时，讨论的单调性.
19、（12分）已知
成立的自变量x的取值范围.
20、（12分）已知某商品的价格上涨
%，销售的数量就减少
%，其中
为正的常数.
（1）当
时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围.
21、 ( 12分)已知
，点
是函数图象上任意一点，点关于原点的对称点Q的轨迹是函数
的图象，当
时，有
恒成立.
(1)求出
的表达式；
(2)求的取值范围.
22、（理科12分，文科14分）设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线
对称。且当
时，
求函数的表达式；
在
或
的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线
上
23、（理科14分） 已知二次函数
均为实数），满足
，对于任意实数都有
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）当
且
取得最小值时，函数
是单调的，求证：
.
答 题 卷
一、选择题：本题共12题，每小题5分，满分60分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | D | B/A | D | C | A | B | A | C | A | D | C/C |
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分。
13、
14、理
；文
15、理
；文
16、②，③，④
三、解答题：本题共6小题，满分74分.
17、（文科作理科不作。12分）已知 （1≤x≤4），求:函数 的最大值和最小值。
解：∵f (x)的定义域为[1, 4]
∴g(x)的定义域为[1, 2]
∵
∵1≤x≤2
∴
∴当x = 1时, g (x)max = 2 ；当x = 2时, g (x)min = 7
18、（12分）设函数
为奇函数，又
，且在上递增。 ⑴求
、
、
的值； ⑵当
时，讨论的单调性.
解：⑴∵为奇函数，∴
，……2分
∴=0或=1。而=0时=
，
矛盾。………5分
∴=1，=1，=0；………7分
⑵由⑴
19、（12分）已知 成立的自变量x的取值范围.
解：依题意有
当a>1时，原不等式等价于
当时，原不等式等价于
综上所述：
（1）当
时，使
成立的自变量x的取值范围是
（2）当时，当成立的自变量x的取值范围是
20、（12分）已知某商品的价格上涨%，销售的数量就减少%，其中为正的常数。
（1）当时，该商品的价格上涨多少，就%%能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围
解：（1）设商品现在定价元，卖出的数量为个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
，
即 
，（
），
取得：
，当
时，
，
即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
（2）二次函数，
在 
上递增，在
上递减，
适当地涨价能使销售总金额增加，即 在
内存在一个区间，使函数
在此区间上是增函数，所以 
，
解得
，即所求
的取值范围是
．
21.( 12分)已知f(x)=loga(x+1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1
时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.
(1)求出g(x)的表达式；
(2)求m的取值范围.
解：(1)设Q(x,y)
P(－x,－y),代入f(x)方程得， g(x)=－loga(－x+1). 4分
(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立
2loga(x+1)－loga(1－x)≥m恒成立loga
≥m恒成立,即m小于等于loga的最小值.
令h(x)=
=
. 8分
易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，
∴h(x)min=h(0)=1,
又∵a＞1,∴loga≥loga1=0, 即loga的最小值为0，
∴m的取值范围是m≤0.
22、（12分）设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数，g(x)与f(x)的图象关于直线
对称。且当
时，
求函数f(x)的表达式；
在或的情况下，分别讨论函数f(x)的最大值，并指出为何值时，f(x)的图像的最高点恰好落在直线上
讲解 （1）注意到
是定义在区间
上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出
在区间
上的解析式，在区间
上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。
当
时，
，由于
与的图象关于直线对称，所以，
当
时，
，由
为偶函数，可知：
所以，
因为
为偶函数，所以，（
）的最大值，
必等于在区间上的最大值。故只需考虑
的情形，
此时，
。
对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性。
因此，我们不妨在区间上任取
，设
，则
如果
,则
，
故<0，即在区间上单调递增。
所以，的最大值在
取得，为
。
令=12可解得：
如果，则
的符号不能确定，
为确定的单调区间，可令
<0
由于，要使上式成立，只需：
，即
，
由此我们不难得知：在区间
上单调递增，在区间
上单调递减。（证明略）
所以，在区间
上的最大值为
。
令
=12，解之得：
，与 矛盾。
综上可知：当时，的最大值为
，
当时，的最大值为
。
并且，当时，函数的图像的最高点恰好落在直线上。
23、（理科14分） 已知二次函数均为实数），满足，对于任意实数x都有
（Ⅰ）求f(1)的值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）当x∈[－2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f（x）－mx（m为实数）是单调的，求证：.
解：（Ⅰ）∵对于任意x∈R，都有f（x）—x≥0，且当x∈(0,2)时，
有f（x）≤(
)2·令x=1 ∴1≤f(1)≤(
)2.即f（1）=1.……4分
（Ⅱ）由a—b+c=0及f（1）=1.
有
可得b=a+c=
.……6分
又对任意x，f（x）—x≥ 0,即ax2—
x+c≥0. ∴a＞0且△≤0.
即
—4ac≤0。解得ac≥
.……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a＞0,c＞0. a+c≥2
≥2·
=.……10分
a=c，
当且仅当 a+c=时等号成立。此时a=c=……11分
∴f(x)=x2+x+, F(x)=f(x)－mx=[x2+（2－4m）x+1]。……12分
当x∈[－2,2]时,F(x)时单调的,所以F(x)的顶点一定在[－2,2]的外边.
∴
≥2。……14分 解得m≤－或m≥
。……14分