素质能力检测（六）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合M={x－1＜x＜2}，N={yy=
x2－1，x∈M}，则M∩N为
A.{a－1≤a＜2} B.{a－1＜a＜2}
C.{a－1＜a＜1} D.
解析：y=x2－1，x∈（－1，2）.
所以y∈［－1，1）.
答案：C
2.设x、y∈R，那么x＜1且y＜1是0＜xy＜1成立的____________条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
解析：设x=－，y=0，则xy=0.不能推出0＜xy＜1；
设x=2，y=
满足0＜xy＜1，不能推出x＜1且y＜1.
答案：D
3.不等式（x+1）
≥0的解集是
A.{xx＞1} B.{xx≥1}
C.{xx≥1或x=－1} D.{xx≥－1或x=1}
解析：∵≥0，∴x≥1.
又∵x+1=0，不等式成立.∴x=－1.选C.
答案：C
4.已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正实根，则实数m的取值范围是
A.m＜－2 B.m≤－4
C.m＞－5 D.－5＜m≤－4
解析：
－5＜m≤－4.
答案：D
5.已知函数y=lg（x2－2kx+k）的值域为R，则k的取值范围是
A.0＜k＜1 B.0≤k≤1
C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1
解析：Δ≥0
k≥1或k≤0.
答案：C
6.x、y∈R，x2+y2=1，那么（1－xy）（1+xy）有
A.最小值
和最大值1 B.最小值和最大值1
C.最小值无最大值 D.最小值无最大值
解析：令x=cosθ，y=sinθ，
则（1－xy）（1+xy）=1－x2y2=1－
sin22θ.
∵0≤sin22θ≤1，∴≤1－sin22θ≤1.
答案：A
7.当x∈R+时，下列函数中，最小值为2的是
A.y=x2－2x+4
B.y=x+
C.y=
+
D.y=x+
解析：y=x2－2x+4=（x－1）2+3≥3，
y=x+≥8，y=+.
∵≥
，∴y＞2.故选D.
答案：D
8.已知a2＜x＜a，M=logax2，N=loga（logax），P=（logax）2，则
A.M＞N＞P B.P＞M＞N
C.M＞P＞N D.N＞M＞P
解析：∵a2＜a，∴0＜x＜a＜1.
∴logax＞1，N=loga（logax）＜0，
2logax＞logax·logax，即M＞P.
∴M＞P＞N.
答案：C
9.已知f（x）=ax，g（x）=bx，当f（x1）=g（x2）=3时，x1＞x2，则a与b的大小关系不可能成立的是
A.b＞a＞1 B.a＞1＞b＞0
C.0＜a＜b＜1 D.b＞1＞a＞0
解析：x1=loga3，x2=logb3.
当b＞1＞a＞0时，x1＜0，x2＞0与x1＞x2矛盾.选D.
答案：D
10.已知函数f（x）、g（x）（x∈R），设不等式f（x）+g（x）＜a（a＞0）的解集是M，不等式f（x）+g（x）＜a（a＞0）的解集是N，则
A.N
M B.M=N C.M
N D.MN
解析：任取x0∈M，则f（x0）+g（x0）≤f（x0）+g（x0）＜a.
∴x0∈N.但任取x1∈N，有
f（x1）+g（x1）＜a，得不到f（x1）+g（x1）＜a.
故MN.选C.
答案：C
11.某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则
A.x=
B.x≤
C.x＞ D.x≥
解析：A（1+x）2=A（1+a）（1+b），
∴（1+x）2≤（
）2.
∴1+x≤1+，x≤.
答案：B
12.线段AB=4，M为AB的中点，动点P满足条件PA+PB=6，当P点在同一平面内运动时，PM的最大值M、最小值m分别是
A.M=4，m=
B.M=3，m=
C.M=5，m= D.M=3，m=
解析：P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，M是其中心，由解析几何知识知选B.
答案：B
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.若a、b∈R，且a+b+3=ab，则ab的取值范围是____________.
解析：ab≤（）2，∴a+b+3≤（）2.
∴a+b≥6或a+b≤－2.
∴ab≥9或ab≤1.
答案：（－∞，1］∪［9，+∞）
14.若2x+4y=1，则x2+y2的最小值为____________.
解析：x2+y2=（－2y+）2+y2
=5y2－2y+=5（y－
）2+
≥.
答案：
15.已知偶函数f（x）在［0，+∞）上为增函数，那么不等式f（x）＞f（2－x）的解集是____________.
解析：∵f（x）为偶函数，则f（x）＞f（2－x），
即x＞2－x，得{xx＞1}.
答案：{xx＞1}
16.关于x的方程x2+（a2－1）x+a－2=0的两根满足（x1－1）（x2－1）＜0，则a的取值范围是____________.
解析：（x1－1）（x2－1）＜0
一根大于1，一根小于1.
令f（x）=x2+（a2－1）x+a－2，则f（1）＜0.
∴－2＜a＜1.
答案：－2＜a＜1
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（12分）当x－2＜a时，不等式x2－4＜1成立，求正数a的取值范围.
解：由x－2＜a，得2－a＜x＜2+a.
由x2－4＜1，
得－＜x＜－或＜x＜.
∴（2－a，2+a）（－，－）∪（，）.
∴
或
∴0＜a＜－2.
18.（12分）已知a、b、c为不等正数，且abc=1，求证：
+
+
＜
+
+
.
证明：结论++＜bc+ac+ab
2+2+2＜2bc+2ac+2ab.
因为a、b、c为不等正数且abc=1，
所以bc+ac＞2
=2.
ac+ab＞2，ab+bc＞2.
所以2+2+2＜2bc+2ac+2ab.
所以原不等式成立.
19.（12分）解不等式组
其中x、y都是整数.
解：原不等式组可化为
得－＜y＜2.
∴y=0或1.
当y=0时，
解得
当y=1时，
解得
综上，
20.（12分）学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1 t，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买.
（1）该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少?
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20 t时，大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.
解：设该食堂每隔x天购买一次大米，则每次购买x t，设每吨每天所支付的费用为y元，则
（1）y=［1500x+100+2（1+2+…+x）］
=x+
+1501≥1521，
当且仅当x=，即x=10时取等号.
故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少.
（2）y=［1500x·0.95+100+2（1+2+…+x）］（x≥20）
=x++1426，
函数y在［20，+∞）上为增函数，
∴y≥20+
+1426=1451.
而1451＜1521，故食堂可接受粮店的优惠条件.
21.（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0），若函数y=f（x）的图象与直线y=x和y=－x均无公共点.
（1）求证：4ac－b2＞1；
（2）求证：对一切实数x，恒有ax2+bx+c＞
.
证明：（1）方程ax2+bx+c=x和ax2+bx+c=－x均无实根，
即
①+②得4ac－b2＞1.
（2）由4ac－b2＞1，知a（x+
）2与
同号.
所以ax2+bx+c=a（x+）2+
=a（x+）2+≥＞.
22.（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1、x2.
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设f（x）的对称轴是x=x0，求证：x0＞－1；
（2）如果x1＜2，x2－x1=2，求b的取值范围.
（1）证明：设g（x）=f（x）－x=ax2+（b－1）x+1.
∴
x1＜2＜x2＜4.∴（x1－2）（x2－2）＜0，
即x1x2＜2（x1+x2）－4.
于是x0=－=（－
－）=（x1+x2）－x1x2＞（x1+x2）－（x1+x2）+2=－（x1+x2）+2＞－（2+4）+2=－1，即x0＞－1.
（2）解：由方程g（x）=ax2+（b－1）x+1=0，可知x1x2=＞0，∴x1、x2同号.
若0＜x1＜2，则x2－x1=2，
∴x2=x1+2＞2.g（2）=4a+2b－1＜0. ①
又x2－x12=（x1+x2）2－4x1x2=
－
=2.
∴2a+1=
，代入①式得
2＜3－2b. ②
解②得b＜.
若－2＜x1＜0，则x2=－2+x1＜－2.
∴g（－2）=4a－2b+3＜0. ③
将2a+1=代入③式得
2＜2b－1. ④
解④得b＞
.
综上，可知b＜或b＞.
●意犹未尽
五枚金币
有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出５枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有５枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把５枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.
一语中的：珍惜生命，就能走出挫折的沼泽地.