素质能力检测（二）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.（2002年全国）函数y=x2+bx+c（x∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是
A.b≥0 B.b≤0
C.b＞0 D.b＜0
解析：y=x2+bx+c的对称轴为x=－
，∴－≤0.∴b≥0.
答案：A
2.（2004年全国Ⅲ，理11）设函数f（x）=
则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］
解析：当x＜1时，f（x）≥1
（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥14－
≥1≤31≤x≤10.
综上，知x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
3.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－
）的值为
A.0 B. C.T D.－
解法一：由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.
解法二：取特殊函数f（x）=sinx.
答案：A
4.（2004年上海，文15）若函数y=f（x）的图象与函数y=lg（x+1）的图象关于直线x－y=0对称，则f（x）等于
A.10x－1 B.1－10x
C.1－10－x D.10－x－1
解析：∵y=f（x）与y=lg（x+1）关于x－y=0对称，
∴y=f（x）与y=lg（x+1）互为反函数.
∴由y=lg（x+1），得x=10y－1.
∴所求y=f（x）=10x－1.
答案：A
5.函数f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且f（x）+g（x）=
，则f（x）等于
A.
B.
C.
D.
解析：由题知f（x）+g（x）=， ①
以－x代x，①式得f（－x）+g（－x）=
，即f（x）－g（x）=，
②
①+②得f（x）=.
答案：A
6.（2004年江苏，11）设k＞1，f（x）=k（x－1）（x∈R），在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f－1（x）的图象与y轴交于B点，且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于
A.3 B.
C.
D.
解析：用k表示出四边形OAPB的面积.
答案：B
7.F（x）=（1+
）·f（x）（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数，又是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析：g（x）=1+是奇函数，
∴f（x）是奇函数.
答案：A
8.（2003年杭州市质检题）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是
答案：C
9.（2004年全国Ⅳ，12）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=
，f（x+2）=f（x）+
f（2），则f（5）等于
A.0 B.1 C.
D.5
解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（1）=f（－1+2）=
f（－1）+f（2）=－f（1）+f（2）.∴f（2）=2f（1）=1.∴f（5）=f（3）+f（2）=f（1+2）+ f（2）=f（1）+2f（2）=.
答案：C
10.设函数f（x）=
的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b
解析：f（0）=
=0，∴b=0.
f（1）=1，∴
=1.
∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有
＞0，∴a＞0.又f（x）= 
，当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+
≥2
，当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f（x）=
=1.
∴a=2.
答案：B
11.偶函数y=f（x）（x∈R）在x＜0时是增函数，若x1＜0，x2＞0且x1＜x2，下列结论正确的是
A.f（－x1）＜f（－x2） B.f（－x1）＞f（－x2）
C.f（－x1）=f（－x2） D.f（－x1）与f（－x2）大小关系不确定
解析：x越小，f（x）越大.∵x1＜x2，∴选B.
答案：B
12.方程log2（x+4）=3x实根的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：设y=log2（x+4）及y=3x.
画图知交点有两个.
答案：C
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.（2004年浙江，理13）已知f（x）=
则不等式x+（x+2）·f（x+2）≤5的解集是___________________.
解析：当x+2≥0时，原不等式x+（x+2）≤5x≤.∴－2≤x≤.
当x+2＜0时，原不等式x+（x+2）（－1）≤5－2≤5.∴x＜－2.
综上，知x≤.
答案：（－∞，］
14.设函数f（x）的定义域是N*，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，则f（25）= ___________________.
解析：由f（x+y）=f（x）+f（y）+xy
f（2）=f（1）+f（1）+1=3.
∴f（2）－f（1）=2.
同理，f（3）－f（2）=3.
……
f（25）－f（24）=25.
∴f（25）=1+2+3+…+25=325.
答案：325
15.（2004年春季上海）已知函数f（x）=log3（
+2），则方程f－1（x）=4的解x=___________________.
解析：由f－1（x）=4，得x=f（4）=log3（
+2）=1.
答案：1
16.对于函数y=f（x）（x∈R），有下列命题：
①在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1－x）的图象关于直线x=1对称；
②若f（1+x）=f（1－x），且f（2－x）=f（2+x）均成立，则f（x）为偶函数；
③若f（x－1）=f（x+1）恒成立，则y=f（x）为周期函数；
④若f（x）为单调增函数，则y=f（ax）（a＞0，且a≠1）也为单调增函数.
其中正确命题的序号是______________.
（注：把你认为正确命题的序号都填上）
解析：①不正确，y=f（x－1）与y=f（1－x）关于直线x=1对称.②正确.③正确.④不正确.
答案：②③
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.（12分）函数y=lg（3－4x+x2）的定义域为M，x∈M时，求f（x）=2x+2－3×4x的最值.
解：由3－4x+x2＞0得x＞3或x＜1，
∴M={xx＞3或x＜1}，
f（x）=－3×22x+22·2x=－3（2x－
）2+.
∵x＞3或x＜1，
∴2x＞8或0＜2x＜2.
∴当2x=即x=log2时，f（x）最大，最大值为.
f（x）没有最小值.
18.（12分）（2003年高考新课程卷）设a＞0，求函数f（x）=
－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：
（x）=
－
（x＞0）.
当a＞0，x＞0时，
（x）＞0x2+（2a－4）x+a2＞0，
（x）＜0x2+（2a－4）x+a2＜0.
①当a＞1时，对所有x＞0，有x2+（2a－4）x+a2＞0，即（x）＞0.
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.
②当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2＞0，
即（x）＞0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.
又知函数f（x）在x=1处连续.
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.
③当0＜a＜1时，令（x）＞0，即
x2+（2a－4）x+a2＞0，解得x＜2－a－2
，或x＞2－a+2.
因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.
令（x）＜0，即x2+（2a－4）x+a2＜0，解得2－a－2＜x＜2－a+2.
因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.
19.（12分）（2005年春季北京，理20）现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工:记T=a0+a1+…+a5，xn=
，yn=
（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连结点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线.
（1）求f（0）和f（5）的值；
（2）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1、k2、k3、k4、k5的大小关系；
（3）证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）.
（1）解:f（0）=
=0，
f（5）=
=1.
（2）解:kn=
=
an，n=1，2，…，5.
因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5.
（3）证法一:对任何n（n=1，2，3，4），
5（a1+…+an）=［n+（5－n）］（a1+…+an）
=n（a1+…+an）+（5－n）（a1+…+an）
≤n（a1+…+an）+（5－n）nan
=n［a1+…+an+（5－n）an］
＜n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT，
所以f（xn）=
＜=xn.
证法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，
yn=（y1－y0）+（y2－y1）+…+（yn－yn－1）
=
（k1+k2+…+kn）＜=xn.
当kn≥1时，
yn=y5－（y5－yn）
=1－［（yn+1－yn）+（yn+2－yn+1）+…+（y5－y4）］
=1－（kn+1+kn+2+…+k5）＜1－（5－n）==xn，
综上，f（xn）＜xn.
20.（12分）（2003年北京）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如下图）
（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
分析：本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（1）解：由题设可知，a＞b＞0，记h=
，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为
f（y）=2（b2+y2）+（h－y）2=3（y－
）2+h2+2b2.
∴当y=时，函数f（y）取得最小值.
∴点P的坐标是（0，
）.
（2）解法一：P至三镇的最远距离为
g（y）=
由
≥h－y解得y≥
，记y*=，于是
g（y）= 
当y*=≥0，即h≥b时，在［y*，+∞）上是增函数，而h－y在（－∞，y*）上是减函数，由此可知，当y=y*时，函数g（y）取得最小值；
当y*=＜0，即h＜b时，函数在［y*，+∞）上，当y=0时，取得最小值b，而h－y在（－∞，y*）上为减函数，且h－y＞b.可见，当y=0时，函数g（y）取得最小值.
∴当h≥b时，点P的坐标为（0，
）；
当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.
解法二：P至三镇的最远距离为
g（y）= 
由≥h－y解得y≥，记y*=，于是
g（y）=
当y*≥0，即h≥b时，z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值.
当y*＜0，即h＜b时，z=g（y）的图象如图（b），因此，当y=0时，函数g（y）取得最小值.
∴当h≥b时，点P的坐标为（0，）；
当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.
解法三：∵在△ABC中，AB=AC=a，
∴△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为（0，），且AM=BM=CM.
当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.
若h=≥b〔如图（c）〕，
则点M在线段AO上.
这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，
所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.
若h=＜b〔如图（d）〕，则点M在线段AO外.
这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边的中点O重合时，P到三镇的最远距离最小.
∴当≥b时，点P的位置在△ABC的外心（0，）；
当＜b时，点P的位置在原点O.
21.（12分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］，都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.
（1）设f（1）=2，求f（），f（
）；
（2）证明f（x）是周期函数.
（1）解：由f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），x1、x2∈［0，］知f（x）=f（
）·f（）=［f（）］2≥0，x∈［0，1］.
因为f（1）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（1）=2，所以f（）=2
.
因为f（）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（）=2，所以f（）=2
.
（2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（1+1－x）f（x）=
f（2－x），x∈R.
又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.将上式中－x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
22.（14分）设函数y=f（x）定义在R上，对任意实数m、n，恒有f（m+n）=f（m）·
f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1.
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减；
（3）设集合A={（x，y）f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）f（ax－y+2）=1，
a∈R}，若A∩B=
，求a的取值范围.
（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，
令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.
∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1.
设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，
∴f（x）=
＞1.
（2）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，
∴0＜f（x2－x1）＜1.
令m=x1，m+n=x2，
则n=x2－x1，代入条件式，得
f（x2）=f（x1）·f（x2－x1），
即0＜
＜1.∴f（x2）＜f（x1）.
∴f（x）在R上单调递减.
（3）解：由f（x2）·f（y2）＞f（1）f（x2+y2）＞f（1）.
又由（2）知f（x）为R上的减函数，
∴x2+y2＜1点集A表示圆x2+y2=1的内部.
由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.
∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆x2+y2=1相离或相切.
于是
≥1－
≤a≤.