素质能力检测（五）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.点M（4，－3）关于点N（5，－6）的对称点是
A.（4，3） B.（
，0）
C.（－
，3） D.（6，－9）
解析：设M关于N的对称点为
（x，y），
=
，把坐标代入即可.
答案：D
2.有三个命题：①向量
与
是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
.其中正确的是
A.② B.③ C.①③ D.②③
解析：①与共线，AB与CD也可以平行.②中a与b也可能为0.选B.
答案：B
3.已知A（1，2），B（4，2），则向量按向量a=（－1，3）平移后得到的向量坐标是
A.（3，0） B.（3，5）
C.（－4，3） D.（2，3）
解析：=（3，0），向量按任何方向平移后坐标不变.
答案：A
4.已知a=4，b=8且a与2b－a互相垂直，则向量a与b的夹角是
A.arccos
B.π－arccos
C.
D.
解析：由a⊥（2b－a）得a·（2b－a）=0，∴2abcosθ－a2=0.∴cosθ=.
又0≤θ≤π，∴θ=arccos.
答案：A
5.△ABC中，已知b=10，c=15，C=30°，则此三角形的解的情况是
A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定
解析：由b＜c得B＜C，B必为小于30°的锐角.
答案：A
6.下列命题：
①k∈R，且kb=0，则k=0或b=0；
②若a·b=0，则a=0或b=0；
③若不平行的两个非零向量a、b，满足a=b，则（a+b）·（a－b）=0；
④若a与b平行，则a·b=ab；
⑤a∥b，b∥c，则a∥c.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①正确；②错误，若a⊥b，则a·b=0；③正确，因为（a+b）·（a－b）=a2－b2=0；④正确，可设a=λb，则a·b=λb·b=λb2；⑤错误，若b=0，则对任意a与c，均有a∥b，b∥c成立.
答案：C
7.已知点P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），则
的最大值是
A.
B.2 C.4 D.不存在
解析：PQ2=（cosβ－cosα）2+（sinβ－sinα）2=2－2（cosαcosβ+sinαsinβ）=
2－2cos（α－β），故当cos（α－β）=－1时，PQ取最大值2.
答案：B
8.在△ABC中，a2+b2－c2=ab，则角C为
A.60° B.45°或135°
C.120° D.30°
解析：cosC=
=，C=60°.
答案：A
9.点P1，P2，…，Pn是线段AB的n个n+1等分点，P∈{P1，P2，…，Pn}，则P分有向线段的比λ的最大值和最小值分别是
A.n+1，
B.n+1，
C.n，
D.n－1，
解析：由
=λ
知λ取得最大值时P为距点B最近的点Pn，取最小值时为P1.
答案：C
10.若a与b的夹角为60°，b=2，（a+b）·（a－2b）=－2，则向量a的模是
A.2 B.5 C.3 D.6
解析：由题意知a2－a·b－2b2=－2，b=2，cos60°=，代入得a2－a－6=0.
∴a=3或a=－2（舍去）.
答案：C
11.命题p：a=b且a∥b；命题q：a=b，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分要件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：当a∥b且a与b方向相反时，即使a=b，也不能得到a=b，故a=b且a∥b不是a=b的充分条件，而是必要不充分条件.
答案：B
12.在平面直角坐标系中，O为原点，OA=a，
=b，对任意一点M，它关于A的对称点为S，S关于点B的对称点为N，则用a、b表示为
A.2（b－a） B.（a－b）
C.a+b D.（a+b）
解析：=
+
=2
+2
=2－2
.（四边形OASB是平行四边形）
答案：A
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. =3e1，=3e2，且=，则
=____________.
解析：=3e2－3e1，=
=e2－e1，=+=2e1+e2.
答案：2e1+e2
14.已知向量a=（1，），b=（－，1），若正数k和t满足x=a+（t2+1）b与y=－ka+
b垂直，则k的最小值是____________.
解析：x=（1－－t2，1++t2），y=（－k－
，－k+），由x⊥y得x·y=0.又t＞0，∴k=t+≥2.∴当t=1时，k的最小值为2.
答案：2
15.在△ABC中，记BC=a，AC=b，AB=c，若9a2+9b2－19c2=0，则
=____________.
解析：=
=
=
=
=
=
=
.
答案：
16.已知直线l1过点（0，t），方向向量为（1，1），直线l2过点（t，1），方向向量为（1，－2），P为l1、l2的交点，当t变化时，P的轨迹方程为____________.
解析：l1方程为x－y+t=0，l2方程为2x+y－1－2t=0，两式消去t即得P的轨迹方程.
答案：4x－y－1=0
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（12分）已知向量a=（3，－4），求：
（1）与a平行的单位向量b；
（2）与a垂直的单位向量c；
（3）将a绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e的坐标.
解：（1）设b=λa，则b=1，b=（
，－
）或b=（－，）.
（2）由a⊥c，a=（3，－4），可设c=λ（4，3），求得c=（，）或c=（－，－）.
（3）设e=（x，y），则x2+y2=25.
又a·e=3x－4y=aecos45°，即3x－4y=
，由上面关系求得e=（
，－
），或e=（－，－），
而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e=（，－）.
18.（12分）向量a=（1，cos2θ），b=（2，1），c=（4sinθ，1），d=（sinθ，1），其中θ∈（0，
）.
（1）求a·b－c·d的取值范围；
（2）若函数f（x）=x－1，判断f（a·b）与f（c·d）的大小，并说明理由.
解：（1）a·b=2+cos2θ，c·d=2sin2θ+1=2－cos2θ.
∵a·b－c·d=2cos2θ，
∴0＜θ＜.∴0＜2θ＜
.
∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2.
∴a·b－c·d的取值范围是（0，2）.
（2）f（a·b）=2+cos2θ－1=1+cos2θ=2cos2θ，
f（c·d）=2－cos2θ－1=1－cos2θ=2sin2θ.
于是有f（a·b）－f（c·d）=2（cos2θ－sin2θ）=2cos2θ.
∵0＜θ＜，∴0＜2θ＜.
∴2cos2θ＞0.∴f（a·b）＞f（c·d）.
19.（12分）△ABC的三个内角A、B、C满足下列条件：
①A＜B＜C；②A、B、C成等差数列；③tanA·tanC=2+
.
（1）求A、B、C的大小；
（2）若AB边上的高为4，求a、b、c的大小.
解：（1）由题意知B=60°，A+C=120°，tan（A+C）=
=－tanB=－，∴tanA+tanC=3+.故
或
（舍），故A=45°，B=60°，C=75°.
（2）过C作CD⊥AB于点D，则CD＝4，在Rt△ACD和Rt△ABC中，由正弦定理得a=
=8，b=
=4
，c=AD+DB=4+4.
20.（12分）已知a=（cosθ，sinθ），b=（cosβ，sinβ），a与b之间有关系式ka+b=a－kb（k＞0）.
（1）用k表示a·b；
（2）求a·b的最小值，并求此时a与b夹角的大小.
解：（1）将ka+b=a－kb两边平方得a·b=
=
.
（2）∵（k－1）2≥0，
又k＞0，∴≥
=，
即a·b≥，cosα=.
又0°≤α≤180°，故a与b的夹角为60°.
21.（12分）已知矩形ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，求证：对角线AC⊥BE，AC⊥DF的充要条件是AB∶BC=1∶.
证明：设
=a，
=b，则a⊥b.
=b，
=b－a，
=+=a+b.
（1）必要性：∵⊥，∴（b－a）·（a+b）=0，
即a·b+b2－a2－a·b=0.
∵a⊥b，∴a·b=0.
∴b2－a2=0，即b2=a2，得b2=2a2，b=a.
∴AB∶BC=1∶.
（2）充分性：∵·=（b－a）·（a－b）=a·b+b2－a2－a·b，
又∵a⊥b，∴a·b=0.
∴·=b2－a2=b2－a2.
∵AB∶BC=1∶，∴a∶b=1∶.
∴a2=b2.∴·=0.
故⊥.
同理可证·
=0，则⊥.
综合（1）（2）知AC⊥BE，AC⊥DF的充要条件是AB∶BC=1∶.
22.（14分）设坐标平面上全部向量的集合为V，a=（a1，a2）为V的一个单位向量.已知从V到V的映射f由f（x）=－x+2（x·a）a（x∈V）确定.
（1）若x、y∈V，求证：f（x）·f（y）=x·y；
（2）对于x∈V，计算f［f（x）］－x；
（3）设u=（1，0），v=（0，1），若f（u）=v，求a.
（1）证明：f（x）·f（y）=［－x+2（x·a）a］·［－y+2（y·a）a］
=x·y－4（x·a）（y·a）+4（x·a）（y·a）a2=x·y.
（2）解：∵f［f（x）］=f［－x+2（x·a）a］
=－［－x+2（x·a）a］+2{［－x+2（x·a）a］·a}a
=x－2（x·a）a+2［－x·a+2（x·a）a2］a
=x－2（x·a）a+2（x·a）a=x，
∴f［f（x）］－x=0.
（3）解：由f（u）=v，得
解得
或
∴a=（，）或a=（－，－）.