高考福州三中数学模拟题（理）

福州三中数学模拟试卷（理）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

 

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件、互斥，那么

如果事件、相互独立，那么··

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么它在次独立重复试验中恰好发生次的概率

球的表面积公式，其中表示球的半径．

球的体积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果全集则等于　（　）

　　A．　　B．（2，4）　　C．　　　 D．

2.已知角的终边经过点，且，则的值是（　 ）

　　A、　　　 B、　　  C、　　D、　　　 　　 

3．如果向量 与共线且方向相反，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　　 A．±2　　　　　　　　　　　 B．-2　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　 D．0

4．若不等式2x－3>4与不等式x²+px+q>0的解集相同，则= （　）

　　　 A、　　　　　  B、　　 C、　　　　  D、

5．设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，　 (　　 )

A、乙是丙的充分而不必要条件　 　 B、乙是丙的必要而不充分条件

C、乙是丙的充分且必要条件　 　　 D、乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

 6．函数的图象大致形状是 （　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A.　　　　　　　　  B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　 D.

7．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是 　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　 A． 　　　　　　 B． 　　　　　　 C．　　　　　　　D．

8.若直线mx＋ny＝4和⊙O∶没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆的

交点个数为（ 　）

　　A．至多一个　　　 B．2个　　　　C．1个　　　　　 D．0个

9．数列是其前n项的和，当时，，则（　　 ）

　　A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

10.已知函数f(x)是偶函数，且当时，f(x)＝x－1，则不等式f(x-1)＜0的解集为（　　）

A.（－1,0）　　B. （－∞，0）∪（1,2）　C.（0,2）　 D.（1,2）

11．如图，建筑工地有一用细砂堆成的多面体，其上下两个底面平行且都是矩形，上底面矩形的两边分别为6米与3米，下底面矩形的

长边为10米，若此多面体的四个侧面与底

面所成的二面角都相等，则其下底面的短边

边长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　　 A．7米　　　　　　　　　　B．6米　　　　　　　　　　

　　　 C．5米　　　　　　　　　　D．4米

12．若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）　

　　A. 　B. 　 C. 　 D.

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．设展开式中的第4项是　　　　　　　  .

14．双曲线的两焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足PF₁+PF₂=　则△PF₁F₂的面积为　　　　　　　　

15.已知实数x,y满足约束条件，目标函数只有当时取得最大值，则的取值范围是　　　　　   .

16．“神六”上天并顺利返回，让越来越多的青少

年对航天技术发生了兴趣。我校的科技小组在　　　　　　　　　　　　

计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案

如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方

程为＝1，变轨（航天器运行轨迹

由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为

对称轴、M(0,)为顶点的抛物线的实线部分，

降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪

航天器。试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为

___ ______________________时航天器发出变轨指令。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题12分）

某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，

(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；

(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；

(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。

　　　　　　

18．（本小题12分）

设向量

（1）若，求的值.

（2）记向量所在的直线的倾斜角为，求证：

　　　　（3）在（2）的条件下，求函数的值域。

19．（本小题满分12分）

 如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

　 (1) 求证：AB平面PCB；

　 (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）求二面角C-PA-B的大小．

20．（本小题12分）

已知数列、满足：为常数），且，其中…

（Ⅰ）若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和的表达式；

（Ⅱ）当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

21．（本小题12分）

设函数（n∈N），且当x=时，f（x）的值为17+12；（a≠1，a∈R），定义：=－_．

^{（1）当a =－1时，的表达式．}

^{（2）当x ∈[0，1]时， 的最大值为－65，求a的值．}

22．（本小题满分14分）

　　 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．

（1）　　　 求曲线C的方程；

（2）　　　 证明不存在直线，使得；

（3）　　　 过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

福州三中数学模拟试卷（理）答案

一、选择题：

1．A　2．D　3．B　4．C　5．C　6．A　7．D　8．B　9．A　10. C　11. A　12. B

二、填空题：

13．－35i　 14．1　15． 16．，4

三、解答题

17．解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则。

（2）每位考生测试合格的概率，测试不合格的概率为

则，即，

∴，

(3)∵～　∴ 　 

18．解：（1），又，故

（2），

　　　　　　　　　 ＝，又[0，），，

（3）将原函数化简得，由及

　　　 可知故，于是]

19．解法一：(1) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．

又，

∴AB平面PCB．

(2) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．

由（1）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，　tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．

（3）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得　DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．

由(1) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

　　．

　　在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．

解法二：（1）同解法一．

(2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

　　则+0+0=2．

　　== ．

　 ∴异面直线AP与BC所成的角为．

（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

，，

则　 即

解得　 令= -1,　得 m= (，0，-1)．

　 设平面PAC的法向量为n=()．

，，

 则　 即

解得　 令=1,　得 n= (1，1，0)．

　　=．

　　∴二面角C-PA-B的大小为arccos．

 20． （I）解：因为{a_n}是等比数列a₁=1,a₂=a.

∴a≠0，a_n=a^n－1.

又

即是以a为首项, a²为公比的等比数列.

 

（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：

解法一：设{b_n}的公比为q，则

又a₁=1,a₂=a, a₁, a₃, a₅,…，a_2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，

a₂, a₄, a₆, …, a_2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，

即{a_n}为：1，a, q, aq , q², aq²,

当q=a²时，{a_n}是等比数列；

当q≠a²时，{a_n}不是等比数列.

解法二：{a_n}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：

设{b_n}的公比为q

（1）取a=q=1时，a_n=1(n∈N)，此时b_n=a_na_n+1=1, {a_n}、{b_n}都是等比数列.

（2）取a=2, q=1时，

所以{b_n}是等比数列，而{a_n}不是等比数列．

  21． _解：∵f（x）=（x ＋1）， f（）= 17+12，　∴n= 4

又∵， ∴m= 4， ∴F（x）=（x＋1）－（x＋a）  

_{（1）当a =－1时，F（x）=（x ＋1）－（x ＋a）=8x＋8x}  

（2）∵

∴F（x）=12（1-a）x＋12（1－a）x ＋4（1-a）

若，则＝0，不合题意，故

∴△=[12（1－a）]-4·12（1－a）·4（1－a）

=－48（1－a）< 0　　　  

Ⅰ)当1－a >0时，,F（x）为增函数．∵x∈[0，1]

　 ∴F（1）=－65  ∴2 －（1+a）=－65

∴1＋a=±3　 ∴a =－4　 a=2（舍去）

Ⅱ) 当1－a <0时，,F（x）为减函数．

　 ∴F（0）=－65  ∴1 －a=－65　 ∴a =　 a =－（舍去）

综上：a =或a =-4

22． 解：（1）解：设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为

　 　∴点N的坐标为

　  ∴N₁的坐标为　　  ∴

由有　　

　  ∴　　  由此得

由有

　  ∴　　  即，即为所求的方程．曲线C为椭圆．

　 （2）证：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直线斜率存在，并设为．直线的方程为．

由方程组　　 得

依题意，得．

当时，设交点，PQ的中点为R，则

，　　　　

∴

又BR⊥

 

但不可能成立，所以不存在直线使得．

（3）证明：由题有S，．

则有方程组

由（1）得：

将（2）、（5）代入（3）有

整理并将（4）、（5）代入得　

易知，解得

因，故，，

∴

∴．