福州三中数学模拟试卷（文）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
·
·
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么它在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
球的表面积公式
，其中
表示球的半径．
球的体积公式
，其中表示球的半径．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合A={x0≤x≤
，x∈Z}，集合B={xx=2a,a∈A},则集合A∩B等于 （ ）
A.{0,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{0}
2. 已知角
的终边经过点
，且
，则
的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
3．如果向量 
与
共线且方向相反，则= （ ）
A．±2 B．-2 C．2 D．0
4．若不等式2x－3>4与不等式x2+px+q>0的解集相同，则
= （ ）
A、
B、
C、
D、
5．设等差数列{an}前n项和为Sn，则使S6=S7的一组值是 （ ）
（A）a3=9， a10=―9 （B）a3=―9，a10= 9
（C）a3=―12， a10=9 （D）a3=―9，a10=12
6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是 （ ）
A．
B． 
C．
D．
7. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点
、
是它的焦点，长轴长为
，焦距为
，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案均有可能
8．函数
的图象大致形状是 （
）
A. B. C. D
9．有以下四个命题：①若直线
是异面直线，
是异面直线，则
是异面直线；②若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行；③若一个平面内有不共线三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；④三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线一定平行．以上命题中真命题个数有
（ ）
0个
1个 
2个 
3个
10.已知函数f(x)是偶函数，且当
时，f(x)＝x－1，则不等式f(x-1)＜0的解集为（ ）
A.（－1,0） B. （－∞，0）∪（1,2） C.（0,2） D.（1,2）
11. 已知F1、F2为双曲线
=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲
线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±
x B.y=±
x C.y=±
x D.y=±
x
12．若函数
在上是奇函数且可导，若
恒成立，且常数
，则下列不等式一定成立的是
（ ）
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．函数
的定义域为
14.已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是 .
15．
将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如右表所示．现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共 张．
16．请阅读下列命题：
①直线
与椭圆
总有两个交点；
②函数
的图象可由函数
按向量
平移得到；
③函数
一定是偶函数；
④抛物线
的焦点坐标是
．
回答以上四个命题中，真命题是__ _____________(写出所有真命题的编号).
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题12分）
某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是
，
(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
(2)若5人中恰有r人合格的概率为
，求r的值；
18. （本小题12分）
设向量
（1）若
，求
的值。
（2）若
，求向量
所在直线的倾斜角的大小。
（3）若
，求函数
的值域。
19．（本小题满分12分）
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求证：四边形AEC1F为平行四边形，
（Ⅱ）求BF的长；
（Ⅲ）求点C到平面AEC1F的距离.
20．（本小题满分12分）
已知曲线C：
过点
作C的切线
，切点为P.
（1）求证：不论
怎样变化，点P总在一条定直线上。
（2）若
，求过P且与垂直的直线与
轴的交点到原点O的最小距离。
21．（本小题12分）
已知数列
、
满足：
为常数），且
，其中
…
（Ⅰ）若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和
的表达式；
（Ⅱ）当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？
22．（本小题满分14分）
在直角坐标系XOY中，已知点A（1，0），
，C（0，1），
，动点M满足
，其中m是参数（
）
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型；
（Ⅱ）当动点M的轨迹表示椭圆或双曲线，且曲线与直线
交于不同的两点
时，求该曲线的离心率的取值范围.
福州三中数学模拟试卷（文）答案
一、选择题：
1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. D 8. A 9. A 10. A 11. D 12. A
二、填空题：
13．
14．
15．7 16．①④
三、解答题：
17． 解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则
。
（2）每位考生测试合格的概率
，测试不合格的概率为
则
，（
0，1，2，3，4，5）
即
，
∴
，可得
或 
＝4
18．解：（1）
，
又
，故
（2）
，
＝
，又
[0，），
（3）将原函数化简得
，由及
可知
故
，于是
]
19． 解法1：（Ⅰ）由长方体的性质得平面ADF//平面BC
E
又
平面AEF
平面BCE=E
平面AEF平面ADF=AF
∴AF//E同理AE//F
∴四边形AEC1F为平行四边形，
（Ⅱ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.
|
∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.
（ Ⅲ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且
AG
面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离.
解法2：（Ⅰ）同上
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），
C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
|
（Ⅲ）设
为平面AEC1F的法向量，
∴
则C到平面AEC1F的距离为
20．证明：（1）设P点的坐标为（
），则
又
则的斜率为
，
又切线过点，
故的斜率又为
，
即
所以
，所以
，
于是点P总在直线
上.
（2）证法一：直线的斜率为
，则垂线的斜率为
故垂线方程为
令
，解得垂线于轴的交点的坐标为
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以垂线于轴的交点到原点O的最小距离为
证法二：直线的斜率为
，则垂线斜率为
垂线方程为
令，解得垂线于轴的交点的坐标为
＝ 
＝
2
，
当且仅当
即
时，等号成立.
所以垂线于轴的交点到原点O的最小距离为.
21．（I）解：因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.
∴a≠0，an=an－1.
又
即
是以a为首项, a2为公比的等比数列.
（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
解法一：设{bn}的公比为q，则
又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，
a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，
即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2,
当q=a2时，{an}是等比数列；
当q≠a2时，{an}不是等比数列.
解法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：
设{bn}的公比为q
（1）取a=q=1时，an=1(n∈N)，此时bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列.
（2）取a=2, q=1时，
所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．
22．解：（I）设动点M的坐标为（x，y）
由题意得
动点M的轨迹方程为
当
时，
，即
，动点M的轨迹是一条直线；
当
时，方程可以化为：
此时，当
时，动点M的轨迹是一个圆；
当
，或
时，动点M的轨迹是一个椭圆
当
时，动点M的轨迹是一条双曲线
（II）当且
时，由
得
与该圆锥曲线交于不同的两个点
即
且
或
（1）且时，圆锥曲线表示双曲线
其中，
且
（2）当时，该圆锥曲线表示椭圆：
其中
综上：该圆锥曲线的离心率e的取值范围是