福州市2003—2004学年第二学期高三质量检查
数学试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n－k
球的表面积公式：S=4πR2，其中R表示球的半径.
球的体积公式：V=
πR3，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集
则 （ ）
A．M∪N=R B．M∩N=
C．
D．
2．将函数y=sinx按向量
=（－
，3）平移后的函数的解析式为 （ ）
A．y=sin(x－)+3 B．y=sin(x－)－3
C．y=sin(x+)+3 D．y=sin(x+)－3
3．设l、m、n表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．若l⊥α,m⊥α,则l∥m
B．若m
β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若mα，n
α,m∥n，则n∥α
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
4．如果数列
是首项为1，公比为2的等比数列，
那么
= （ ）
A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n+1
5．已知复数z满足z=1，则z+i的最大值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．0<x<5是不等式x－2<4成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车
床，丙只会操作A种车床，现从这三名工人中选2人分别去操作以上车床，则不同的
选派方法有 （ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8．直线xsinθ+ycosθ=2+sinθ与圆(x－1)2+y2=4的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
9．已知x、y满足约束条件
的最小值为 （ ）
A．7 B．
C．－5 D．5
|
cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为 （ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
11．过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，
|
的值是 （ ）
A．12 B．－12
C．3 D．－3
12．设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如右图所示，
则导函数y= f′(x)的图象可能为 （ ）
第Ⅱ卷（非选择题；共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
|
13．一离散型随机变量ξ的概率分布为： 且Eξ=1.5，
则a－b= .
14．正方体的全面积是24cm2,它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 cm2.
15．已知P是椭圆
上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是
.
16．设
展开式中含x2项的系数，则
=
.
三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
的大小.
18．（本小题满分12分）
|
GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为
.
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值.
19．（本小题满分12分）
冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
20．（本小题满分12分）
已知数列{an}中，a2=a+2(a为常数)；Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项.
（Ⅰ）求a1, a3 ;
（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（Ⅲ）求证以
为坐标的点Pn(n=1, 2, …)都落在同一直线上.
21．（本小题满分12分）
设双曲线C1的方程为
，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.
|
（Ⅱ）设（I）中所求轨迹为C2，C1、C2
的离心率分别为e1、e2，当
时，e2的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知二次函数f(x)=ax2+(a+1)x－a,方程f(x)=0两实根的差的绝对值等于2.
（Ⅰ）求实数a的值.
（Ⅱ）是否存在实数p、q，使得函数F(x)=pf[f(x)]+q f(x),在区间（－∞，－3）内是增函数，在区间（－3，0）内是减函数？若存在，求p、q所要满足的条件；若不存在，说明理由.
福州市2003—2004学年第二学期高三质量检查
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D
二、填空题
13．0； 14．12π； 15．
16．1.
三、解答题
17．解法一：
18．解法一：
（I）由已知
∴PG=4…………2′
如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，
则
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0）
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos
……………………4′
（II）平面PBG的单位法向量
∴点D到平面PBG的距离为
……………………8′
（III）设F（0，y , z）
在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
……………………………………………………………………12′
解法二：
（I）由已知
∴PG=4…………2′
在平面ABCD内，过C点作CH//EG
交AD于H，连结PH，则
∠PCH（或其补角）就是异面直线GE
与PC所成的角.………………3′
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′
（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG
∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………………………6′
在△DKG，DK=DGsin45°=
∴点D到平面PBG的距离为……………………………………8′
（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=…………………………10′
…………12′
19．解：（I）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶。记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则P=P(A)=
.题（I）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为：
…………………………6′
（II）有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.……………………………………………………………………8′
所求概率为：P6(5)+P5(5)+P4(4) ………………………………………9′
=C65P5(1－P)+C55P5+C44P4
=
…………………………………………………………11′
答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为
，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为.……………………………………12′
20．解：解：（I）由已知得：
………………1′
（II）
………4′
证明：（i）当n=1时，左边=a1=a,右边=a+2(1－1)=a, ∴当n=1时，等式成立
当n=2时，左边=a2=a+2,右边=a+2(2－1)=a+2
∴当n=2时，等式成立.……………………………………………………5′
（ii）假设n=k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，即ak=a+2(k－1),
则当n=k+1时
∴当n=k+1时，等式也成立.
由（i）（ii）可知，对任何正整数n，等式
都成立.……………8′
（III）证明当n≥2时，∵an=a+2(n－1)
……）都落在同一直线上.…………………………12′
21．（I）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )
|
经检验点
不合
因此Q点的轨迹方程为a2x2－b2y2=a4（除点（－a,0）,(a,0)外）…………8′
（I）解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵A(－a, 0), B(a , 0), QB⊥PB, QA⊥PA
（I）解法三：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
∴
……（1）…………………………………………1′
连接PQ，取PQ中点R
22．解：（I）
（II）
………………………………6′
设存在实数p、q满足要求，则
∴存在实数p、q，当p>0且q=－16p时，满足设要求………………14′