2006年甘肃兰州一中高三第一学期12月月考试卷
数 学 （理）
第Ⅰ卷(选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将每题正确选项的序号填在答题卡的相应位置．
1．若
，则下列不等式 ①
；②
；③
；④
中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为 ( )
A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜b＜a＜1 D．0＜a＜b＜1
3．公差不为零的等差数列{an}中，a2，a3，a6成等比数列，则其公比q为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若 l1：x ＋(1＋m) y = 2－m ；l2：2 m x ＋ 4 y ＋16 = 0的图像是两条平行直线，则m的值是 （ ）
A．m =1 B．m =1或m =－2 C．m =－2 D．m的值不存在
5．若直线2x－y＋c = 0按向量 
=（1，－1）平移后与圆 
相切，则c的值为 （ ）
A． 2或－8 B． 6或－4 C． 4或－6 D． 8或－2
6．若
，则目标函数
z = x + 3 y 的最大值是 （ ）
A． 8 B．10 C． 12 D．14
7．设双曲线以椭圆
长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A．±2 B．
C．
D．
8．不等式 2x－log2x ＜ 2x + log2x 的解集为 ( )
A．{x 1＜x＜2} B．{x x＞1} C．{x 0＜x＜1} D．{x x＞2}
9．已知sinα+ cosα= tanα ( 0＜α＜
） ，则α∈（ ）
A．（0，
）B．（ ，
） C．（，
） D．（，）
10．已知函数 y = f ( x ) 与 y = g
( x )的图像如图所示，则函数F ( x ) =
f ( x ) · g ( x ) 的图像只可能是 （ ）
11．集合A＝｛x 
＜0
，B＝｛x x －b ＜a，若“a ＝1”是“A∩B≠
”的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）
A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜2
12．已知函数
(x) = 2 x + log2 x，若a
= 0.1n (其中n ∈N * )，则使得 
取得最小值的n的值是（ ）
A．100 B．110 C．11 D．10
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分；答案填在题中的横线上．
13．已知函数(x)= a sin2x + b tanx，且(－2)= 4，那么(π+ 2)= ．
14. 已知
,则不等式x+(x +2)·f (x)
5的解集是 ．
15．M是椭圆
上的任意一点，
是椭圆的左、右焦点，则
的最大值是______．
16．已知A (
，0 )，B是圆
为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
．
三、解答题： 6小题，共74分；写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数
(1)求函数y = f（x）的单调递增区间；
(2)当x ∈ ［0，
］ 时，函数 y = f（x）的最小值为 
，试确定常数a的值．
18．（12分）设a > 0，解关于x的不等式 1－
< a ．
19．（12分） 已知函数
，定义数列{a n}，使a1 =
4 ，a2 = f（a1），…，a n+1 = f（a n） ．
(1)求证：数列{
}是等差数列；
(2)设数列 { a n·a n+1} 的前n项和为S n，求证：S n＜8．
20．（12分） 对于函数f（x），若存在 x0∈R 使f（x0）= x0成立，则称x0为
f（x）的不动点．如果函数
有且仅有两个不动点0，2，且f（- 2）＜ 
．
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)当x ∈ ( 1，2 ］时，不等式2 m f（x+1）> 1 有解，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知向量
，动点M到定直线y = l的距离等于d ，并且满足 
，其中O是坐标原点，k是参数．
(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
(2)当k ＜ 0时，曲线与直线 y = x + 3 有两个不同的交点，求该曲线离心率的范围．
| |
(1)设B、C两点的坐标分别为（x1，y1），(x2，y2) ，证明：y1 y2 = - p2；
(2)求抛物线的方程；
(3)已知该抛物线上的动弦MN的中点P的轨迹方程为y 2 = 2（x + 1）( 其中x > 1) ，求证：弦MN所在直线经过定点，并求出该定点的坐标．
2006年甘肃兰州一中高三第一学期12月月考试卷
数学参考答案及评分标准（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | A | C | A | D | D | C | B | C | A | D | B |
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．－4；
14．
； 15．9； 16．
.
三、解答题：6小题，共74分；应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .
17．（12分）解：
…3分
……………………6分
（1）由x + ∈［
－
，＋］（k∈Z）得
x∈［－
，＋］（k∈Z）
∵
∴
∴ 函数y = f（x）的单调递增区间是
[－，－）∪ ( －，＋］（k∈Z）．…9分
（2）当x∈［0，］时，x + ∈［， 
］
∴当x + = 时，函数y = f（x）取得最小值为
∴由已知得
=，
∴ a = ±1 ．…………………………12分
18．（12分）解：原不等式可化为－a < 1－ < a ……………………………2分
即
……………………………4分
∵ a >0 ∴1+ a >0 ……………………………5分
①当1－a > 0即0< a <1时， 
< x <
； …………………………7分
②当1－a = 0即a =1时，原不等式可化为2x－1 > 0， ∴x > 
；…………9分
③当1－a < 0即a >1时，等价于
或
∴ x > 
或 x < …………………………………………………11分
综上，当a >1时，原不等式的解集为{x x > 或x <
}；
当a =1时，原不等式的解集为{x
x >}；
当0< a <1时，原不等式的解集为{ x < x <
}．……………12分
19．（12分）解：（1）∵a n+1 = f（a n） ∴
∴
又
∴数列{}是以
为首项，以
为公差的等差数列．…………5分
（2）由（1）可知
…………7分
∴
…………………………9分
∴S n = a1 a 2 + a2 a 3 + … + a n a n+1
…………………………………………12分
20．（12分）解：（1）由已知得：
由f（－2）=
＜，得－1＜c＜3 ． ………………………………4分
∵ b，c∈N * ∴ c=2，b=2．
∴
……………………………………6分
(2) ∵当x∈ (1，2］时，
∴ f（x）>0．
∴若不等式2m f（x+1）>1 有解，则m >0 ．
即当x∈ (1，2］时，不等式2 f（x+1）> 
有解．………………8分
又当x∈ (1，2］时，函数
单调递增．
∴
…………………………………10分
∴ 
．
……………………………12分
21．（12分）解：(1)设M（x，y），则由题可得：A（2，0），B（2，1），C（0，1）．
∴
，
,
,
∴
整理得：( 1 - k ) x 2 + 2( k - 1 ) x + y 2 = 0 为所求的轨迹方程．……3分
当k = 1 时，y = 0，动点M的轨迹是一条直线；
当k ≠ 1时，方程可化为
当k = 0时，动点M的轨迹是一个圆；
当k ＞ 1时，动点M的轨迹是一条双曲线；
当0＜ k ＜1 或 k ＜0时，动点M的轨迹是一个椭圆．…………………6分
（2）由
消x整理得（2-k）x 2 + (4 + 2 k ) x + 9 = 0
由题可知△＞0， ∴k 2 + 13 k - 14 ＞0 ∴ k＞1 或 k＜-14．………8分
∵ k ＜0 ∴ k ＜ -14 ，此时动点M的轨迹是椭圆，方程为
其中a 2 = 1-k ， b 2 = 1 ，c 2 = a 2 - b 2
= - k， ∴ 
∵ k ＜-14
∴ 
∴
． …………12分
22．（14分）解：（1）由题可知，光线BC必过抛物线的焦点F（
，0）
设直线BC的方程为x = my + ，将其代入抛物线方程y2 =2px得y 2 -2p my -p 2 = 0
∴ y1 y2 = - p2． ………………………………………… 4分
（2）由题可知，点A（6，4）关于直线 l：x - y – 7 = 0的对称点E（11，-1）在直线CD上，∴ y2 = -1 ，又y1 = 4 ∴ 由y1 y2 = -p2得p=2 ，则抛物线的方程为y2 = 4x． ………………………………………… 8分
（3）设M（x1，y1）、N (x2，y2)、P（a，b） ∴2a = x1 + x2 ，2b = y1 + y2
由题可知，直线MN的斜率存在且不为零，∴设直线MN的斜率为k，
则由
两式相减得(y1－y2) (y1 + y2) = 4 (x1－x2)
∴ k = 
则
又已知点P的轨迹方程为y2 =2（x + 1） (x > 1) ， ∴ b2 =2（a + 1）
将 代入得 
，
则经过点P且斜率为k的直线MN的方程为y = k（x－
）+ 
即 y = k x + k = k （x + 1）
∴ 弦MN所在直线经过定点，该定点的坐标为（-1，0）． ……………… 14分