中科大附中2005—2006学年度高三试题

数　　学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题:(题共12小题, 每小题5分，共60分)

1．设全集U, 集合M, N, 那么

（C_UM）N为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　  　B．　　　　　 　 C．　　　D．  

2．等差数列前四项和为40, 末四项和为72, 所有项和为140, 则该数列共有 （　　）

　　　 A．9项　　　　  　B．12项　　　　 　 C．10项　　　　 　D．13项

3．已知平面向量与向量,, 且, 则＝　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．3　　　 　　　　B．1　　　　　  　 C．－1　　　　 　D．－3

4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面, 球心到这个平面的距离是4cm , 则该球的体积是

[球的体积公式: ]　　　　  　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　B．　　　C．　 　　D．

5．函数的反函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　  　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　 D．

6． 的值是　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　 　　　　　　 B．－　　　　 　 C．　　　　 　　　D．－

7．已知抛物线的顶点为原点, 焦点在y轴上, 抛物线上点到焦点的距离为4, 则m的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．4　　　 　　　　　B．－2　　　 　　　　 C．4或－4　　 　　D．2或－2

8．函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 （　　）

　　　 A．在内单调递增　　　　　　　B．在内单调递减

　　　 C．在内单调递增　　　　 　 D．在内单调递减

9．若P为圆的弦AB的中点, 则直线AB的方程是　 　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　B．　　

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

10．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由(元)决定, 其中

是大于或等于m的最小整数, (如), 则从甲地

到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．3.71元　　　 　 B．3.97元　　　　　　　C．4.24元　 　　　　　D．4.77元

11．已知2a＋1＜0，关于x的不等式的解集是　　　 　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　 　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　 　　　D．

12．设函数,区间M＝[a，b], 集合N＝{}，

则使M＝N成立的实数对 (a,　b)有　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　（　　）

　　　 A．0个　　　 　　　　B．1个　　　　　　　C．2个　　　　　　　D．无数多个

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分)

13．设a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边边长, 则直线

与直线的夹角大小是　　　　　　　　　 .

14．已知椭圆的左、右焦点分别为、, 点P在椭圆上. 若是

一个直角三角形的三个顶点, 则点P到x轴的距离为　　　　　　　  .

15．已知a、b为不垂直的异面直线, 是一个平面, 则a、b在上的射影有可能是

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点称

在上面结论中, 正确结论的编号是　　　　　　　　　.(写出所有正确结论的编号)

16．给出平面区域如图所示, 目标函数为:

若当且仅当时, 目标函数t取最小值,

则实数a的取值范围是　　　　　　　　　  .

三、解答题：(本大题6小题，共74分)

17．（本题12分）已知函数

最小正周期.

（1） 求实数的值;

（2） 若x是的最小内角, 求函数的值域.

18． (本题12分) 解关于的不等式 其中.

19．(本题12分) 等差数列是递增数列，前n项和为, 且成等比数列,  

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列满足求数列的前99项的和.

20． (本题12分)在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中, O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心, 点

P在棱CC₁上, 且CC₁＝4CP.

(1) 求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小 (结果用反三角函数值表示);

(2) 设O点在平面D₁AP上的射影是H, 求证: D₁H⊥AP；

(3) 求点P到平面ABD₁的距离.

21. （本题12分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制(单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油升, 司机的工资是每小时14元.

(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2) 当x为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.

(精确到小数点后两位,)

22．（本题14分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一

个焦点，且双曲线过点（1, ）

(1)求双曲线的方程;

(2)设直线:与双曲线C交于A、B两点, 试问:

① 为何值时

② 是否存在实数, 使A、B两点关于直线对称(为常数), 若存在, 求出

的值; 若不存在, 请说明理由.

数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	C	B	C	D	B	C	A	C	C	A	A

二、填空题（每小题4分，共16分）

13.  ;　　　14.  ;　　　 15.  ① ② ④ ;　　　　16.　;

三、解答题（共74分）

17．（本小题满分12分）

解: (1) 因为………(5分)

 所以 .………(6分)

(2) 因为x是的最小内角, 所以………(8分)

又, 所以………(12分)

18．（本小题满分12分）

解: ∵∴ ……(6分)　　

∴　　∴不等式的解集为………(12分)

19．（本小题满分12分）

解：(1) 设数列公差为

∵成等比数列　　∴………(1分)　

………(3分)

　 ∵　　∴……… ①………(4分)

∵　 ∴……… ②………(5分)

由①②得：　　　　 ∴………(7分)

(2) ………(9分)

　

　 ………(12分)

20．（本小题满分12分）

解:（1）连接BP, 平面BCC₁B₁,BP平面BCC₁B₁,

∴BP, 为所求的角的平面角, ………(2分)

在Rt△ABP中,

∴………(4分)

（2）连接D₁B₁,A₁C₁, D₁B₁⊥A₁C₁, D₁B₁⊥A₁A, ∴D₁B₁⊥平面A₁A P C₁

  AP平面A₁A P C₁, ∴D₁B₁⊥AP, ………(5分)

又O在平面D₁AP上的射影是H ∴OH⊥平面D₁AP, AP平面D₁AP

即OH⊥AP, ………(7分)

得到 AP⊥平面D₁OH , D₁H平面D₁OH

∴AP⊥D₁H………(8分)

（3）在平面CC₁D₁D上作PN∥CD, CD∥AB , 得PN∥AB, ∴PN∥平面ABD₁

 要求P点到平面ABD₁的距离, 即是求N点到平面ABD₁的距离.………(9分)

　　 过N点作NM⊥AD₁,垂足为M.

　　 在△ADD₁中,

　　………(11分)

 

　　 ∴点P到平面ABD₁的距离是.………(12分)

21．（本小题满分12分）

解: (1) 设行车所用时间为………(1分)

 ………(5分)

所以, 这次行车总费用y关于x的表达式是

（或: ………(7分)

（2）,………(9分)

仅当时,

上述不等式中等号成立………(11分)

答：当x约为56.88km/h时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元.………(12分)

22．（本小题满分14分）

解: (1) 由题意设双曲线方程为,把(1,)代入得（*）………(1分)

又的焦点是（，0），故双曲线的（2分）与（*）

联立，消去可得，

∴ ，（不合题意舍去）………（3分）

于是，∴ 双曲线方程为………（4分）

(2) 由消去得（*），当

 即（）时，与C有两个交点A、B………（6分）

① 设A（，），B（，），因，故………（7分）

即，由（*）知，，代入可得

………（8分）

 化简得

∴ ，检验符合条件，故当时，………（9分）

② 若存在实数满足条件，则必须………（11分）

 由（2）、（3）得………（4）

把代入（4）得………（13分）

这与（1）的矛盾，故不存在实数满足条件………（14分）