北交大附中2005-2006学年度第一学期高三年级质量检测
数 学 试 题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为（ ）
2. 设a>b>c，且
，则n的最大值为
（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3．命题甲：
或
；命题乙：
，则
（ ）
A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件； D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
4．函数
是 （ ）
A.周期为
的奇函数
B. 周期为的偶函数
C.周期为2的奇函数
D。周期为2的偶函数
5．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称，
，则此双曲线的方程是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 函数
，
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D。
7. 已知函数
的定义域为R，它的反函数为
，如果
与
互为反函数且
。（
为非零常数）则
的值为 （ ）
A．
B。0
C。
D。
8．数列
满足
，若
，则
的值为（ ）
A.
B. 
C. 
D。
9．设直线
的倾斜角为
，则该直线关于直线
（
）对称的直线的倾斜角为 （ ）
A.
B. 
C. 
D。
10. 若对于任意的
，函数
，
满足
，则称在
上可以替代。若
，则下列函数中可以在[4，16]替代是 （ ）
A.
B. 
C. 
D。
11．已知x，y满足不等式组
的最小值为 （ ）
A．
B．2 C．3 D．
12．ABCD-A1B1C1D1单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是自然数)。设白，黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是 （ ）
A、1
B、
C、
D、0
高三大联考模拟考试数学试卷
命题人：邓永生
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。）
13．不等式
的解集是
。
14. 把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移,得到y=2x2的图象,且a⊥b,c=(1,-1),b•c=4,则b=___________
15．已知函数满足：
，
，则
+
+
+
+
= 。
16．在等比数列中，若
，则有等式
，
。类比上述性质，相应的在等差数列
中，若
，则有等式
成立。
三、 解答题：本大题共6小题，共74分，要求写出必要的解答过程，否者不能得分。
17. （本题满分12分）已知集合
，集合
满足
，求实数的值。
18.(本小题12分) 已知
，（1）若
，求的最小值；（2）若不等式
对于一切
恒成立，求实数的取值范围。
19.（本题满分12分）已知向量 a=(1,1),b=(1,0),c满足a
c=0且a=b,bc>0.
1).求向量c；2）若映射
a+
c,
①求映射
下（1，2）的原象；
②若将（
）看作点的坐标，问是否存在直线
使得直线上的任一点在映射的作用下点仍在直线上，若存在求出直线
的方程，否则说明理由。
20．（本小题12分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A
、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。
（1）试以A表示A
；（2）若A
=200，求{A}的通项公式；
（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？
21．（本小题满分12分）设
，
分别是直线
和
上的动点，（，两点的纵坐标符号相同），O是坐标原点，且△
的面积为9。①求线段
的最小值；②求线段的中点M的轨迹方程；③设点
是直线上的点，且点分有向线段
所成的比是
（
），求点的轨迹方程。
22．（本题满分14分）对于函数，若存在
，使
成立，则称点
为函数的不动点。（1）已知函数
有不动点（1，1）和（-3，-3）求与
的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的）
个不动点，求证：必为奇数。
参考答案
一，选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | B | C | A | D | B | C | D | C | D | B |
二，填空题
13．
14．（3，-1）
15． 30
16．
三解答题：
17．解：∵
；
；，
，∴
，∴
18．解：（1）
，
∴
，等号当且仅当
，即
时取得。∴的最小值为
。
（2）不等式即为
，也就是
，
令
，则
在
上恒成立，∴
，解得
。
19．解：1）设
，由题意得：{
解得{
。
∴c=
.
2) ①由题意
，得
，解得：{
∴（1，2）的原象是
。
②假设存在直线适合题设，平行于坐标轴的直线显然不适合。设所求的直线方程为：
，在直线上任取一点
，经过映射的作用得点Q：
仍在该直线上，∴
，即
。
当
时，
无解，故这样的直线不存在。
当
时，
即
，解得：
。故这样的直线存在，其方程为
或
20．解：（1）由题可知，
，又
；
所以整理得：
。
（2）若A=200，且，则设
则
，
∴
即{A-600}可以看成是首项为-400，公比为
的等比数列。
∴
；
（3）∵
，又 则
， 由
得
。即第3个星期一时，选A与选B的人数相等。
21．解：（本题由2004年北京东城考题改编）①设
和
，
则直线的方程为 
；令
得
；
∴S△=
=
，∴
所以：
，
当且仅当
时
；
②线段的中点M的轨迹方程为：
；
③设点
的坐标为
，由点分分有向线段所成的比是（）得：
所以
又，故点的轨迹方程为：
。
22．解答：（1）由不动点的定义：
，
∴
，代入
知
，又由
及知
。
∴，。
（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。
∴中
，
即
恒成立。故
，∴
。
故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。
（3）是R上的奇函数，则
，∴（0，0）是函数的不动点。若有异于（0，0）的不动点
，则
。
又
，∴
是函数的不动点。
∴有限个不动点除原点外，都是成对出现的，有
个（
），加上原点，共有
个。