成都七中2005三月月考试题（数学）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S’、S分别表示上、下底面积，h表示高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合
是从集合A到B的一个映射，若
，则B中的元素3的原象为
（A）—1 （B）1 （C）2 （D）3
（2）已知两条直线
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）
（t是参数，t∈R）表示的曲线的对称轴的方程是
（4）在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）。给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行； ②
；
③
；
④
。
其中正确结论的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）圆锥的侧面积为
，侧面展开图的圆心角为
，则此圆锥的体积为
（6）已知数列
，其中a、b均为正常数，那么
的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）与n的取值相关
（7）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
| 单价（元/kg） | 2 | 2. 4 | 2. 8 | 3. 2 | 3. 6 | 4 |
| 供给量（1000kg） | 50 | 60 | 70 | 75 | 80 | 90 |
表2 市场需求表
| 单价（元/kg） | 4 | 3. 4 | 2. 9 | 2. 6 | 2. 3 | 2 |
| 需求量（1000kg） | 50 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间
（A）（2. 3，2. 6）内 （B）（2. 4，2. 6）内
（C）（2. 6，2. 8）内 （D）（2. 8，2. 9）内
（8）已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，f（a）= 0（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是
（A）{x 0 < x < a} （B）{x -a < x < 0或x > a}
（A）{x -a < x < a} （D）{x x < -a或0 < x < a}
（9）双曲线的虚轴长为4，离心率
分别是它的左、右焦点，若过
的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是
与
的等差中项，则AB等于
|
|
（A）
（B）
（C）
（D）8
（10）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有
（A）6个 （B）7个
（C）8个 （D）9个
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）已知
，那么角
是第________象限的角。
（12）将三棱锥P—ABC（如图甲）沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙的形状，其中
共线，
共线，且
，则在三棱锥P—ABC中，PA与BC所成的角的大小是___________。
（13）设抛物线
的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则该弦所在直线斜率的值为_________。
（14）设
，那么
的值为_________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
已知
，求tg2x的值。
（16）（本小题满分13分）
如图，在正方体ABCD—
中，E、F分别为
与AB的中点。
（Ⅰ）求异面直线
，与CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
（17）（本小题满分14分）
函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x>0时，f（x）>1。
（Ⅰ）求证：f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）若f（4）=5，解不等式
。
（18）（本小题满分14分）
某城市为了改善交通状况，需进行路网改造。已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n = ax + b，其中b为常数。设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为
。
（Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；
（Ⅲ）当b = 4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？
（19）（本小题满分15分）
已知抛物线
，椭圆C以原点为中心，以抛物线
的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
，过抛物线的焦点F作倾斜角为
的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线于一点Q（点Q在x轴下方）。
（Ⅰ）求点P和Q的坐标；
（Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q’，使’ = 4a，求过P和Q’且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
（Ⅲ）设点A（t，0）（常数t>4），当a在闭区间〔1，2〕内变化时，求ΔAPQ面积的最大值，并求相应a的值。
（20）（本小题满分15分）
已知数列
的各项均为正整数，且满足
，（n∈N），又
。
（Ⅰ）求
的值，并由此推测出的通项公式（不要求证明）；
（Ⅱ）设
求
的值；
（Ⅲ）设
（n∈N），
，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
数学参考答案及评分标准（理）
一、（1）C （2）C （3）B （4）C （5）D （6）B （7）C
（8）B （9）A （10）C
二、（11）二或四 （12）90° （13）2 （14）5
三、（15）解：根据倍角公式
。
由原式得
（16）解：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使
，连结BG，
。
∴ 四边形FBGC是平行四边形。
∴ BG//FC。
∴ ∠
就是异面直线B
与CF所成的角。（3分）
在ΔBG中，
，
∴ 
。
即异面直线与CF所成角的余弦值是
。（6分）
（Ⅱ）过
，交CF的延长线于H。连结AH。
平面ABCD，
∴ AH是
在平面ABCD内的射影
∴ AH⊥CH。（8分）
则∠
为二面角
的平面角。（9分）
|
|
底面ABCD如图所示。
由于∠AHF=∠B=90°，∠AFH=CFB，
则ΔAHF～ΔCBF。
∴ 
。
∴ 
∴ 
在RtΔ
AH中，
∴ 
。
则二面角—FC—D的大小为
。（13分）
（17）解：（Ⅰ）设
，且
，则
。
∴
（2分）
∴ 
。
即f（x）是R上的增函数。（7分）
（Ⅱ）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5。
∴ f（2）=3。（10分）
∴ 不等式即为 
。
∵ f（x）是增函数，
于是有
（12分）
解得
。（14分）
（18）解：（Ⅰ）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为
y = kβn = k β（ax+b）。（5分）
（Ⅱ）
。（7分）
由于 5%≤μ≤10%
有 
则 
∴ 5≤1+β≤10。
∴ 4≤β≤9。（8分）
∴
又由已知P>0，
>0，从而
。
所以P的取值范围是
（无等号不扣分。（10分）
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的条件下，若路网最通畅，则β=9。
又造价比最高。
∴
。（13分）
当且仅当 
即a=4时取等号。
∴ 满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个。（15分）
（19）解：（Ⅰ）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为
（m>n>0）
由
解得
∴ 椭圆方程为
。（2分）
直线 l：y = x-a。（3分）
由
可求出 
。（4分）
由
可求出
（5分）
（Ⅱ）将Q点沿直线l向上移动到Q’点，使’ = 4a。
则可求出Q’点的坐标为（3a，2a）。（7分）
设双曲线方程为
由于P、Q’在双曲线上，则有
解得
（9分）
∴
双曲线方程为
（10分）
由于1≤a≤2，当t>4时，
∴当a=2时，
（15分）
（20）解：（Ⅰ）由
。
解得 
由
（2分）
同理可求出 
。（4分）
由此推测
的一个通项公式：
（n∈N）。（5分）
（Ⅱ）
。可知数列
是等差数列
（6分）
当n≤5时，
。
当n>5时，
。
。（7分）
当n≤5时，
。
∴ 
。（10分）
（Ⅲ）
（11分）
对于任意n∈N。
。
∴
是关于n的递增函数。（13分）
∴要使
∴ m<8，又m∈N。
因此存在整数m，使得对任意n∈N，均有，
且m的最大值为7。（15分）