高中学生学科素质训练
高三数学测试题—立体几何综合测试（12）
一、选择题（本题1—10题每小题4分，11—14小题每小题5分，共60分）
1．在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那
么 （ ）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外
2．给出直线a、b，平面α、β，点A，那么下面的说法中正确的是 （ ）
|
|
α，bβ，则a与b是异面直线
B．若a⊥b，则a∩b=A
|
α，b∩α=A，则a与b是异面直线
|
α，b∩α=A，A
α，则a与b是异面直线
3．α、β表示平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实①l⊥α；
②l∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个
数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．M，N，P表示三个不同的平面，则下列命题中，正确的是 （ ）
A．若M⊥P，N⊥P，则M∥N
B．若M⊥N，N∩P=φ，则M∩P=φ
C．若M、N、P两两相交，则有三条交线
D．若N∩P=a，P∩M=b，M⊥N，则a⊥b
5．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为
45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （ ）
A．30 B．20 C．15 D．12
6．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C
的度数 （ ）
A．等于90°
B．是小于120°的钝角
C．是大于等于120°小于等于135°的钝角
D．是大于135°小于等于150°的钝角
7．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、
、
，则此三棱锥的外接球面积为（ ）
A．6π B．12π C．18π D．24π
8．半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B、A与C之间的球面距离都是
，B和C之
间的球面距离为
，则过A、B、C三点的截面与球心的距离是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；
|
M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.
其中正确命题的个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线
BE与SC所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．在三棱锥A—BCD中，AB=AC=AD，BC=1，∠ABC=∠BCD，∠BDC=
，∠ABD=
，
|
A．1 B．
C．
D．
12．直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和
CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知二面角α—AB—β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB
的距离为4，那么tanθ的值等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
14．ABCD—A1B1C1D1是正方体，M、N分别是AA1、BB1的中点，设C1M与DN所成的角
为θ，则sinθ的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题每小题5分，共20分）
15．在△ABC中，BC=21，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都
是14，则P到平面ABC的距离为 .
16．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD为棱折成直二面角A—
BD—C，P是AB上的一点，若二面角P—CD—B为60°，则AP= .
17．已知三棱锥A—BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1
和S2，设面ABC和面DBC所成的二面角是α，则sinα= .
18．正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O—AB1D1
的体积为 .
三、解答题（本题19题10分，20—24小题每小题12分，共70分）
19．已知P、Q、M分别是45°的二面角α—l—β的面α、β和棱l上的点，直线MQ是直
线PQ在β上的射影（如图），若PQ和β成
角，l和MQ成θ角，PM=a，求PQ的长.
|
20．已知二面角α—l—β等于θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，若PA=m，PB=n，求P
到棱l的距离.
21．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
22．正三棱柱ABC—A′B′C′中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且
EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：
（Ⅰ）截面与底面所成的角；
（Ⅱ）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
23．经过正三棱柱底面一边AB作与底面成30°角的平面，已知截面三角形ABD的面积为
32cm2，求截面截得的三棱锥D—ABC的体积.
|
a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的
射影O在AC上.
（Ⅰ）求AB与侧面AC1所成的角；
（Ⅱ）若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.
高三数学测试题参考答
十二、立体几何综合测试
一、（1）A；（2）D；（3）C提示：由①②
③、①③②是正确命题，由②③不能得到①；（4）B；
（5）A；（6）B；（7）A 提示：外接球的直径是以三条侧棱构成的长方体的对角线的长； （8）A；
（9）B；（10）C 提示：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.
；
（11）C；由已知条件知A点在底面BCD上的射影为BC的中点F，设∠ABC=∠BCD=α，则BD=a，
AB=sinα，
（12）B；提示：取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C
的距离为h，则 
（13）D； （14）D.
二、（15）7； （16）
； （17）
； （18）
.
三、（19）作PH⊥β于H，∵MQ是PQ在β上的射影，∴H在MQ上.作HN⊥l于N，并连结PN，由三垂
直线定理可知PN⊥l， ∴∠PNH是二面角α—l—β的平面角，即∠PNH=45°.
设PQ=x，则NH=PH=xsin，
，MN=NH·cotθ=xsin·cotθ.
在Rt△PMN中，∵PM2=PN2+MN2，
，故
.
|
α，l⊥AC，∴l⊥PC即PC是P到l的距离.
|
β，l⊥PC，∴l⊥BC. 即∠ACB为二面角α—l—β的平面角，∠ACB=θ，
∵l⊥AC，l⊥PC，l⊥BC， ∴PACB是一个平面四边形. 又∠PAC=∠PBC=90°，∴四边形PACB内
接于以PC为直径的圆，∠APB=π－θ. 在△APB中，由余弦定理，得 AB2=PA2+PB2－2PA·PBcos
∠APB=m2+n2+2mncosθ. 由正弦定理，得
，即为所求P到
l的距离.
（21）（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.
取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
. 在△ACD中，
AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=. 在Rt△BCM中，BC=
，CM=1，
.
（22）（Ⅰ）延长ED交CB延长线于F，
为截
面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（Ⅱ）设AB=a，则
，
. 
（23）S底面=S△ABD·cos30°，设底面边长为x，则有
.取AB中点E，在Rt△DEC中，
∠DEC=30°，故
（24）（Ⅰ）在△ABC中，AB=
，BC=AC=a，∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，∠CAB=45°，
又BC⊥A1O，故BC⊥侧面AC1，AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45°.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B1BCC1为矩形，
中点，
于E，连结A1E，则AB⊥A1E. 在Rt△AOE
中，
，在Rt△A1EO中，
.