高三数学第一学期期末试卷
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一.选择题（每题5分，共60分）。
1、已知集合
，则集合
=（ ）
A．{
} B．{
}
C．{
} D．{
}
2、设实数a∈[-1,3], 函数f(x)=x2-(a+3)x+2a，当f(x)>1时，实数x的取值范围是（ ）
A、[-1,3] B、(-5,+∞) C、(-∞,-1)∪(5,+∞) D、(-∞,1)∪(5,+∞)
3、已知函数f(x)=
在区间[2，+∞）是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、（-∞，4） B、（0,12） C、（-4，4） D、（0,4）
4、已知函数
，那么f-1(1)的值等于（ ）。
A、0 B、-2 C、
D、
5、将y=2x的图象（ ），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x+1)的图象。
A、先向左平移一个单位 B、先向右平移一个单位
C、先向上平移一个单位 D、先向下平移一个单位
6、一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台），若小棱锥的体积为y，棱台的体积为x，则y关于x的函数图象大致形状为（ ）。
7、已知数列
，那么“对任意的
，点
都在直线
上”是“为等差数列”的 （ ）
(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
8、如图，在棱长为2的正方体
中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是
、AD的中点。那么异面直线OE和
所成的角的余弦值等于（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
9、若
为圆
的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
10、函数
)为增函数的区间是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
11、已知向量a、b满足：a=1，b=2，a－b=2，则a+b=（ ）
A．1 B．
C．
D．
12、已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线 
对称.
④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.
⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.
其中正确的命题序号是( )
A、①②④ B、①③④ C、②③⑤ D、②③④
二. 填空题（每题5分，共20分）。
13、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有________种（用数字作答）。
14、若
，则
。(用数字作答)
15、两个篮球运动员在罚球时投球的命中率为0.7和0.6，每人投篮三次，则两人都恰好进2球的概率是______。(用数字作答,精确到千分位)
16、曲线
关于直线x=2对称的曲线方程是___________。
三、解答题（共70分）
17、（本题满分14分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求bc的最大值。
18、（本题满分14分）
如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点，作
交PB于点F。
(I)证明 
平面
；
(II)证明
平面EFD；
(III)求二面角
的大小。
19、（本题满分14分）
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为
。
（Ⅰ）试用列举法表示随机变量的取值集合
；
（Ⅱ）分别求随机变量任取集合中每一个值的概率。
20、（本题满分14分）
设a>0，
是奇函数。
（1）试确定a的值；
（2）试判断f(x)的反函数f-1(x)的单调性，并证明。
21、（本题满分14分）
一条斜率为1的直线l与离心率
的双曲线
(a>0,
b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且
，求直线和双曲线方程。
 |
一.选择题（ 5分 × 12 = 60 分 ）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | C | C | C | A | D | C |
| 题号 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | B | A | C | D | C |
二.填空题（ 5分 × 4 = 20分 ）
13、5 14、1 15、0.19 16、
三、解答题（共70分）
17、（本题满分14分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值。
解: (Ⅰ) =
=
=
= 
(Ⅱ) ∵ 
∴ 
,
又∵ ∴ 
当且仅当 b=c=
时,bc=
,故bc的最大值是.
18、（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，
E是PC的中点，作交PB于点F。
(I)证明 平面；
(II)证明平面EFD；
(III)求二面角的大小。
方法一：
(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
底面ABCD是正方形，
点O是AC的中点
在
中，EO是中位线，
。
而
平面EDB且
平面EDB，
所以，
平面EDB。
(II)证明：
底在ABCD且
底面ABCD，
①
同样由底面ABCD，得
底面ABCD是正方形，有
平面PDC
而
平面PDC，
② ………………………………6分
由①和②推得
平面PBC
而
平面PBC，
又
且
，所以
平面EFD
(III)解：由(II)知，
，故
是二面角
的平面角
由(II)知，
设正方形ABCD的边长为
，则
在
中，
在
中，
所以，二面角的大小为
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。
依题意得
底面ABCD是正方形，
是此正方形的中心，
故点G的坐标为
且
。这表明
。
而
平面EDB且平面EDB，
平面EDB。
(II)证明：依题意得
。又
故
由已知，且
所以平面EFD。
(III)解：设点F的坐标为
则
从而
所以
由条件知，
即
解得 
。
点F的坐标为
且
即
，故是二面角的平面角。
且
所以，二面角的大小为
19、（本题满分14分）
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为。
（Ⅰ）试用列举法表示随机变量的取值集合；
（Ⅱ）求随机变量任取集合中每一个值的概率。
解:
（Ⅰ）由题意可得,随机变量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。
（Ⅱ）随机变量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一个值时，其概率如下：
|
| 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 |
| P（ | 0.09 | 0.24 | 0.16 | 0.18 | 0.24 | 0.09 |
20、（本题满分14分）
设a>0，是奇函数。
（1）试确定a的值；
（2）试判断f(x)的反函数f-1(x)的单调性，并证明。
解：
（1）∵ f(x)为奇函数， ∴ f(x)+f(-x)=0
即
对定义域内x均成立，
解得a=1，即 
。
（2）由
得 
， ∴ 
，
∴ 
， ∴ f-1(x)在定义域内为增函数，
当任取定义域内x1,x2且x1<x2时，
因 
得
，
则
，
∴ f-1(x1)<f-1(x2)，即f-1(x)为增函数。
21、（本题满分14分）
一条斜率为1的直线l与离心率的双曲线(a>0,
b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程。
解：∵ 
， ∴ b2=2a2，∴ 双曲线方程可化为2x2-y2=2a2,
设直线方程为 y=x+m,
由
得 x2-2mx-m2-2a2=0,
∴ Δ=4m2+4(m2+2a2)>0
∴ 直线一定与双曲线相交。
设P(x1, y1), Q(x2, y2), 则x1+x2=2m, x1x2=-m2-2a2,
∵ 
， 
,
∴ 
, ∴ 
消去x2得，m2=a2,
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)
=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3
∴ m=±1, a2=1, b2=2.
直线方程为y=x±1，双曲线方程为
。