高考仿真试题四数学理

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数　学　理工农医类(四)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题　共60分）和第Ⅱ卷（非选择题　共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.

第Ⅰ卷　(选择题　共60分)

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式:

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=p^k(1－p)^n－k

球的表面积公式S=4πR²,其中R表示球的半径

球的体积公式V=πR³,其中R表示球的半径

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A={圆:x²+y²=1},B={直线:y=x},则A∩B为

A.{(,)}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.{(－,－)}

C.{( ,),(－,)}　　　　　　　　　　　 D.

解析: 注意集合中的元素,A为圆,B为直线,故A∩B=.

答案: D

2.用6种不同的颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一色涂不同的区域,但相邻的区域不能涂同一色,则不同的涂法共有

A.400种　　　　　　　　　　　B.460种　　　　　　　　　　　 C.480种　　　　　　　　　　　D.496种

解析: 由A→B→C→D的顺序填涂可得,共有、、、=480种填涂方法.

答案: C

3.使得点A(cos2α,sin2α)到点B(cosα,sinα)的距离为1的α的一个值是

A.　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　C.－　　　　　　　　　　　　D.－

解析: AB==2sin=1.

答案: C

4.已知4a－2b=(－2,2),c=(1,),a·c=3,b=4,则b与c的夹角是

A.　　　　　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　　　　　　D.

解析: 由题设得4a·c－2b·c=4·3－2b·c=(－2,2)·(1, ),

故得b·c=4.

所以cosθ=== θ=,

故选B

本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量数量积公式的灵活应用.

答案:B

5.已知数列a_n=,其中a>0,b<0(a、b为常数),那么a_n与a_n+1的大小关系是

A.a_n>a_n+1　　　　　　　　　　　　　　B.a_n<a_n+1　　　　　　　　　　　C.a_n=a_n+1　　　　　　　　　　　　　　D.与n的值相关

解析: 构造函数:a_n=(1－·),

由a>0,b<0知a_n是关于n的减函数,

∴a_n>a_n+1.

答案: A

6.函数y=的大致图象是

解析: y=是奇函数,且当x=±1时,y=0,所以选D.

答案: D

7.如下图,正方体的棱长为3 cm,在每一个面的正中有一个正方形孔通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体的各棱,则该几何体的总表面积为

A.54 cm² B.72 cm²C.76 cm² D.84 cm²

解析: 把棱长为3 cm的正方体分割成棱长为1 cm的正方体共有3³=27个,如题意抽去三个方向上的正方体,余下的可分为两类.

第一类:处于正方体8个顶点上的8个小正方体,它们算入表面积的面各3个,共3×8=24(cm²);第二类:处于正方体各棱中间的正方体,每个正方体算入表面积的面各4个,共4×12=48(cm²),则总表面积为24+48=72(cm²).

注：此题另一种思路是：外表面积8×6＝48(cm²),内表面积2×12=24(cm²),总表面积

72 cm².

答案: B

8.如果≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0　　　　　　　　　　　　 B.k≤0或k>　　　　C.k≤0或k>　　　　D.0≤k<

解析: 令y=,y=kx,显然k≤0时成立,

由k²x²－x+5=0(k>0),

由Δ=0,得k=;

由得x=10,而x≥15,

∴当x=15时,k=.

∴k≤0或k>.

答案: C

9.满足不等式0≤y≤2－x的整数解(x,y)的个数是

A.6　　　　　　　　　　　　　　　B.7　　　　　　　　　　　　　　　C.8　　　　　　　　　　　　　　　D.9

解析: 由已知x≤2,则－2≤x≤2.

当x=－2,2时，y=0.有2个；

当x=－1,1时，y=0,1.有4个；

当x=0时，y=0,1,2.有3个.

综上，共有9个，故选D.

答案: D

10.一名射击运动员命中的概率为0.7,那么他射击21次后最可能的命中次数是

A.13或14　　　　　　　　　　B.14或15　　　　　　　　　　C.16或17　　　　　　　　　　D.17或18

解析: 满足几何分布,∴Eξ=np=14.7.

∴B满足.

答案: B

11.若(a·－nb)=1,则ab的值是

A.8　　　　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　　　　　C.8　　　　　　　　　　　　　　　D.16

解析: (a·－nb)=存在,

则2a²－b²=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

∴原式==1.

∴=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②可知,a=2,b=4.

∴ab=8.

答案: A

12.已知f(x)=则f′(1)、f′(－1)等于

A.－2　　　　　　　　　　　　　 B.－3　　　　　　　　　　　　　 C.－1　　　　　　　　　　　　　 D.1

解析: f′(x)=

∴f′(1)·f′(－1)=－1.

答案: C

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数　学　理工农医类(四)

第Ⅱ卷　（非选择题　共90分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)

13.在(+)²⁰⁰⁴的展开式中,系数为有理数的项共有_______项.

解析: 易知T_r+1=2¹⁰⁰²－·x^－r.其系数为有理数的充要条件是r为2与3的倍数,即r被6整除,所以r=6k(k∈Z).

∵0≤6k≤2004,

∴0≤k≤334(k∈Z).

∴k=0,1,2,…,334.

系数为有理数的项共有335项.

或利用等差数列通项公式,由2004=6(n－1),解得n=335.

答案: 335

14.如下图的电路中有a、b、c三个开关,每个开关断开或闭合的概率都是,且是相互独立的,则在某时刻灯泡甲、乙亮的概率分别是_______.

解析: 甲亮须a、c闭合,b开启,

∴P_甲=××=.

乙亮a必须闭合,b、c只需一个闭合即可,

∴P_乙=×(×+×+×)=.

答案: ,

15.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_______种.

解析:

从10个点中任取4个的组合数为=210种.

其中4点共面的分三类.

(1)4点在同一侧面或底面的共4组,即×4=60种.

(2)每条棱的中点与它的对棱上三点共面,这样的共6种.

(3)在6个中点中,4点共面数有3种.

故4点不共面的取法有210－(60+6+3)=141种.

答案: 141

16.关于正四棱锥P—ABCD,给出下列命题:

①异面直线PA与BD所成的角为直角;

②侧面为锐角三角形;

③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角;

④相邻两侧面所成的二面角为钝角.

其中正确命题的序号是___________.

解析:

①对,如图,顶点P在底面上的射影为底面中心O.

∵AC⊥BD,

∴PA⊥BD,即PA与BD所成的角为直角.

②对,设正四棱锥底面边长为a,侧棱长为b,

则AC=a,OA=OB=a.

∵b>a,在△PAB中,PA²+PB²－AB²=2b²－a²>2(a)²－a²=0,

∴∠APB为锐角,故△APB为锐角三角形,即侧面为锐角三角形.

③对,取BC中点E,连PE、OE,易知∠PEO为侧面与底面所成的角,∠PBO为侧棱与底面所成的角,sin∠PEO=,sin∠PBO=.

∵PB>PE,

∴sin∠PEO>sin∠PBO.

∴∠PEO>∠PBO.

④对,作AF⊥PB于F,连FC,易证FC⊥PB,

∴∠AFC为相邻两侧面所成的二面角.

∵AF<AB,CF<BC,在△AFC中,AF²+CF²－AC²<AB²+BC²－AC²=0,从而∠AFC>90°.

故相邻两侧面所成的二面角为钝角.

答案: ①②③④

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若x∈［0,］,求f(x)的最大值、最小值.

解:（1）因为f(x)=cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x=(cos²x+sin²x)·(cos²x－sin²x)－sin2x=cos2x－sin2x=cos(2x+),

所以f(x)的最小正周期T==π.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤.

当2x+=时,cos(2x+)取得最大值;

当2x+=π时,cos(2x+)取得最小值－1.

所以f(x)在［0,］上的最大值为1,最小值为－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18.(本小题满分12分)

已知正四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面边长为3,高为4.

(1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC′垂直?证明你的结论.

(2)求二面角A′—BC′—B′的大小.

(3)求点D′到平面A′BC′的距离.

解法一:(几何法)(1)不存在.

证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.

∵ABCD—A′B′C′D′是正四棱柱,

∴AB⊥BC′.

又AB与l相交,

∴BC′⊥平面ABCD.

又BB′⊥平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)作BH⊥BC′于H.

连结A′H.

∵A′B′⊥平面BB′C′,

∴A′H⊥BC′.

∴∠A′HB′为二面角A′—BC′—B′的平面角.

易求得B′H=,

A′H=.

又A′B′=3,

∴△A′B′H中,cos∠A′HB′===.

∴∠A′HB′=arccos为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)设d为所求距离.

∵V_{D′—A′BC′}=V_{B—A′C′D′},

∴S_△A′BC′·d=S_{△A′C′D′}·BB′··d=·(·3²)·4d=为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

解法二:(向量法)(1)不存在.

证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(E在AD上且与A不重合)与BC′垂直(如图).

设E(0,t,4)(t≠0),

则=(0,t,4)－(3,0,4)=(－3,t,0).

又==+=(0,0,－4)+(0,3,0)=(0,3,－4),

∴·=(0,3,－4)·(－3,t,0)=3t=0t=0,这与t≠0矛盾.

∴平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.

(2)如图,作A′H⊥BC′于H,连结B′H.

∵A′B′⊥平面BB′C′,

∴B′H是A′H在平面BB′C′内的射影.

∴B′H⊥BC′.

∴∠A′HB′就是二面角A′—BC′—B′的平面角.

设H(3,y,z),∵B′(3,0,0),

∴=(0,－y,－z).

又=(3,3,0)－(3,0,4)=(0,3,－4),

∴· =－3y+4z.

∵⊥,∴－3y+4z=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又由 =λ,可得4y+3z－12=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解①②联立的方程组,得y=,z=.

故=(3,0,0)－(0,,)=(3,－,－),=(－3,－,－).

又易得=,=.

∴cos∠A′HB′=

=

=.

∴∠A′HB′=arccos为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)由(2)可知BC′⊥平面A′HB′.

∵BC′平面A′BC′,

∴平面A′HB′⊥平面A′BC′.

作B′G⊥A′H于G,则B′G⊥平面A′BC′,B′G就是点B′到平面A′BC′的距离.

∴B′G=B′H·sin∠A′HB′=·=.

∵ABCD—A′B′C′D′是正四棱柱,

∴易证点D′与点B′到平面A′BC′的距离相等.

∴为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19.(本小题满分12分)

二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是P_k(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,

(1)求二人平局的概率P.

(2)证明P≥;并证明如果P=,则P_k=(k=1,2,3,4,5,6).

(1)解:P=P₁²+P₂²+…+P₆².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)证明:∵P₁+P₂+…+P₆=1,

(P₁－)²+(P₂－)²+…+(P₆－)²

=P₁²+P₂²+…+P₆²－ (P₁+P₂+…+P₆)+

=P－≥0,

∴P≥,当P=时,P₁=P₂=…=P₆=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=在x=2处有一个极大值.

(1)求a、b的关系式,并判断a的符号;

(2)求f(x)的单调区间.

解:(1)f′(x)==.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵f(x)在x=2处有一个极大值,

∴f′(2)=0,从而3a+4b=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将b=－a代入①得

f′(x)=.

∵f(x)在x=2处有极大值,

∴当－<x<2时,f′(x)>0;x>2时,

f′(x)<0,∴a>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)令f′(x)>0解得－<x<2,从而f(x)在(－,2)内是增函数;

令f′(x)<0,解得x<－或x>2,从而f(x)在(－∞,－)或(2,+∞)内是减函数.12分

21.(本小题满分12分)

已知正数项数列{a_n}和{b_n}满足b_n=+a_n,b_n+1=b_n(1－a_n+1²)(n∈N^*),a₁=1.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的前4项;

(2)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式.

解:(1)∵

对一切n∈N^*都成立,

又a₁=1,∴b₁=+a₁=.

由①②③式得

解得a₂=,b₂=,

同理解得a₃=,b₃=和a₄=,b₄=,

∴数列{a_n}的前4项为a₁=1,a₂=,a₃=,a₄=,数列{b_n}的前4项为b₁=,b₂=,b₃=,b₄=.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)由a₁=1=,a₂=,a₃==,a₄=猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=(n∈N^*).④

数学归纳法证明如下:

当n=1、2、3、4时,由前计算知公式④成立.

设n=k(k≥4)时,公式④成立,即a_k=.

当n=k+1时,由①②③式得

消去b_k+1得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤

又b_k=+a_k=+×=,把它代入⑤式解得

a_k+1=,

即n=k+1时,公式④也成立.

∴对一切n∈N^*,a_n=成立,此时b_n=+a_n=+×=.

∴数列{a_n},{b_n}的通项公式分别为

a_n=,b_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

说明:可先猜想数列{b_n}的通项公式,再用数学归纳法证明,最后由②式解得{a_n}的通项公式.

22.(本小题满分14分)

已知A(4,0)、N(1,0),曲线C上的任意一点P满足、=6,

(1)求点P的轨迹方程;

(2)求的取值范围;

(3)若M(－1,0),求∠MPN的取值范围.

解:(1)设P(x,y),则=(－3,0),=(x－4,y),=(1－x,y).

∵·=6,

∴－3(x－4)+0·y=6,

化简得=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　4分

(2)由(1)得==－(x－4).

又－2≤x≤2,

∴的取值范围为［1,3］.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(3)设=m,=n,

∵M、N正好是椭圆的两个焦点,

∴cos∠MPN=

==

=－1=－1≥－1=－1=.

又∠MPN∈(0,π),

∴∠MPN的取值范围是［0,］.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分