北京市八中2005—2006学年度上学期高三调研模拟试卷
数学（理科）
一、选择题：
1．若集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．复数
的值是
A ．2 B．
C．
D．
3．设函数
在点
处连续，则
＝
A．
B．
C．
D．
4．“
且
”是“
且
”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知
在区间
上递增，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．
，则
等于天星 教育网
A．1 B．0 C．3 D．
7．曲线
上的点到直线
的最短距离是
A．
B．
C．
D．0
8．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
9．设函数
给出下列四个命题：
①
时，
是奇函数；
②
时，方程
只有一个实根；
③的图象关于
对称;
④方程至多有两个实根.
其中正确的命题是
A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②④
10．正实数
及函数
满足
，且
，则
的最小值为
A．4 B．2 C．
D．
二、填空题：
11．国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查.某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员、公司职员、教师各抽取的人数为 .
12．已知函数是奇函数，当
时，
，的反函数是
，则
＝
.
13．曲线
在点
处的切线方程为
.
14．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月须交的固定费用）50元，在市区通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市区通话时每分钟话费0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买 卡较合算.
三、解答题：
15．已知集合
，集合
，若
，求实数的值.
16．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.
（1）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次.求这一小组所做的种子发芽实验次数
的分布列和期望.
17．已知命题
：复数
对应的点落在复平面的第二象限；命题
：以
为首项，公比为
的等比数列的前
项和极限为2.若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.
18．设函数
是奇函数（
都是整数，且
，
，在
上是单调递增.
（1）求的值；
（2）当
，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.
19．函数对任意实数
都有
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值，猜想
的表达式并用数学归纳法证明你的结论；
（3）若
，求证：
.
天星 教育网
20．已知
函数
的图像与函数
的图象相切.
（1）求b与c的关系式（用c表示b）；
（2）设函数
，
（ⅰ）当
时，在函数
的图像上是否存在点
，使得在点
的切线斜率为
，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
（ⅱ）若函数在
内有极值点，求c的取值范围.
北京八中理科参考答案及评分标准
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | A | D | A | B | D | A | B | C | C |
11．6、10、4 12. －2 13. y＝2x 14.神州行
15． 
， 
则有
或
16．（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即
（2）依题意有
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
|
17．命题有：
由①得：
由②得：
由上得满足P的m的取值范围是：
或 
对命题,有：
， 又
,得：
且
又命题“且”是假命题，“或”是真命题，则
m的范围是 
18．（1）由是奇函数，得
对定义域内x恒成立，则
对对定义域内x恒成立，即
（或由定义域关于原点对称得）
又
由①得
代入②得
，
又是整数，得
（2）由（1）知，
，当，在
上单调递增，在
上单调递减.下用定义证明之.
设
，则
，
因为，
，
,
，
故在上单调递增；
同理，可证在上单调递减.
19．（1）令
得
（2）， 
猜想
，下用数学归纳法证明之.（略）
（3），则
假设
时命题成立，即
，则
,
由上知，则. 天星 教育网
20．（1）依题意，令
（2）
（ⅰ）当时，
，
，若存在满足条件的点M，则有：
,
,即这样的点M存在，且坐标为
（ⅱ）
令
(x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0；而
=16b2－12(b2+c)=4(b2－3c)，
若=0，则(x)=0有两个相等的实根，设为x0，此时(x)的变化如下：
| x |
| x0 | （ |
|
| + | 0 | + |
于是
不是函数的极值点.
的变化如下：
| x |
| x1 |
|
| （ |
|
| + | 0 | — | 0 | + |
由此，x=x1是函数F(x)的极大值点，x=x2是函数F(x)的极小值点.
综上所述，当且仅当
