北京市东城区高三年级综合练习（一）
数 学 试 卷
（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示
斜高或母线长、台体的体积公式：
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“
”是“
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若
则
的值是 （ ）
A．－a B．a C．
D．－
3．已知复数
的最大值是 （ ）
A．3－
B．3 C．3+ D．2+
4．已知直线l⊥平面α，直线m
平面β，有下面四个命题：
①
；②
；③
；④
，其中正确的两个命题的序号是 （ ）
A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③
|
，设它的反函数为
，当
的图象是
（ ）
6．已知
是等差数列，a1=－9，S3=S7，那么使其前n项和Sn最小的n是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．直线l与直线y=1，x－y－7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为（1，－1），则直线l的斜率为 （ ）
A．
B．
C．－ D．－
|
要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为 （ ）
A．90元 B．80元 C．70元 D．60元
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知集合M=
，那么M∩N等于
.
10．一张厚度为0.1mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次（假定这样的折叠是可以完成的），这时折叠后纸的总厚度h1与一座塔的高度h2=100m的大小关系为h1 h2.
11．有5部各不相同的电话参加展览，排成一行，其中有2部不同的电话来自同一个厂家，则此2部电话恰好相邻的排法总数是 （用数字作答）.
12．双曲线
的焦点坐标是
和 .
13．空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD成60°角，E、F分别为AC，BD的中点，则EF与AB所成角的度数为 .
14．某纺织厂的一个车间有n（n>7，n∈N）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，……，n.定义记号
，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定=1，否则=0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则
；若
说明：
.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
解关于x的不等式
16．（本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C满足
，试判断△ABC的形状，并加以证明.
17．（本小题满分14分）
已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为45°，且PD=AB，求证：平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥N—AMD的体积.
|
18．（本小题满分14分）
为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元.而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元.若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x千瓦时.
（Ⅰ）写出实行峰谷电价的电费
及现行电价的电费
的函数解析式及电费总差额
的解析式；
（Ⅱ）对于用电量按时均等的电器（在任何相同的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？
（Ⅲ）你认为每家每户是否都适合“峰谷电价”的计费方法？（只回答是或不是）
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线
的顶点和准线.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围.
20．（本小题满分14分）
设数列是以a为首项，q为公比的等比数列，令
（Ⅰ）试用a，q表示bn和cn；
（Ⅱ）若
试比较
的大小；
（Ⅲ）是否存在实数对（a，q），其中
，使
成等比数列，若存在，求出实数对（a，q）和；若不存在，请说明理由.
北京市东城区2004年高三年级综合练习（一）
数学参考答案（文史类）
一、选择题
1.A 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B
二、填空题
9．{1，2} 10．＞ 11．48
12．
（答对一个3分，答对两个5分）
13．60°或30° 14．1，（2分） 第三名工人操作了2台织布机（3分）
三、解答题
15．（1）原不等式等价于
由于
恒成立，
∴
…………6分
当a>0时，
；当a=0时，
；
当a<0时，
；…………12分
16．解：△ABC是等腰三角形.在△ABC中，A+B+C=π，由题设
∴
∴sinBsinC+cosBcosC=1. 即cos(B－C)=1…………7分
∵
从而B－C=0，即B=C.
∴△ABC是等腰三角形.………………12分
17．（Ⅰ）连结AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BC⊥PB.
|
即
.…………2分
由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，
即
………………2分
………………4分
又∵M是AB的中点，
…………5分
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，根据三垂线定理，有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.…………7分
∴∠PDA=45°由PA=AD=BC，不难算出PM=MC，则有MN⊥PC.
又由AB=PD=DC，则有DN⊥PC. ∴PC⊥平面MND. 又PC平面PCD，
∴平面MND⊥平面PCD.…………10分
（Ⅲ）连结BD交AC于O，连结ON，则NO 
PA.
且NO⊥平面AMD，由PA=AD=a，
.……………………………14分
18．（Ⅰ）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为
（S－x）千瓦时.
………………3分
………………4分
电费总差额
…………6分
（Ⅱ）可以省钱.
令
即
…………9分
对于用电量按时均等的电器而言，高峰用电时段的时间与总时间的比为
.
所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱.…………12分
（Ⅲ）不是.………………14分
19．（Ⅰ）抛物线
的顶点为（4，0）.
准线方程为
.………………3分
设椭圆方程为
.
则有
，可得
.
∴椭圆方程为
………………7分
（Ⅱ）设P点坐标为
由椭圆的第二定义，有
，
同理
在△PF1F2中，
.……………………11分
是钝角 
.
解得
.……………………14分
20．（1）当q=1时，
………………2分
当
，
……5分
（2）
因为
，
由已知
，
则
.
又
.
所以
. 即
……………………9分
（3）
成等比数列，则令
|
|
…………………………11分
由②得
，代入①得
.
.
所以存在实数对
，使
成为以
为首项，为公比的等比数列.
………………………………14分