数学高考直线与圆锥曲线的位置关系

（90份）第十三单元: 直线与圆锥曲线的位置关系05.12.30

一.选择题

(1)与直线2x-y+4=0平行的抛物线y= x²的切线方程是　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A  2x-y+3=0　　　　　　　　　　 B　2x-y-3=0　　　

C  2x-y+1=0　　　　　　　　　　 D　2x-y-1=0

(2) 已知x、y∈R, 集合A=｛(x, y) x²-y²=1｝, B=｛(x, y) y=t(x+2)+2｝,若A∩B是单元素集合, 则t值的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　 )

A  0　　　　  B 1　　　　　 C 2　　　　　　  D 3

(3) 设双曲线 (0<a<b)的半焦距c, 直线l过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线l的距离为c, 则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　2　　　　 B　　　　　　C　　　　　 D　

(4) 已知抛物线y=2x²上两点A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)关于直线y=x+m对称, 且x₁x₂=-, 那么m的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　 )

A　　　　　　B　　　　　　 C　2　　　　　  D　3

 (5)过双曲线2x²-y2-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点, 若AB=4, 则这样的直线有　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A 4条　　　　 B 3条　　　　 C 2条　　　　D 1条

(6) 对于抛物线y²=2x上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足PQ≥a, 则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　 )

A [0, 1]　　　　B (0, 1)　　　  C 　　　　　D (-∞, 0)

(7) 直线l 交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点, 椭圆与y轴交于B点, 若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A  5x+6y-28=0　　　　　　　　　　 B　5x+6y-28=0　　　

C  6x+5y-28=0　　　　　　　　　 D　6x-5y-28=0　

(8) 过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点, 若FA=2FB

则椭圆的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　 )

A  　　　　 B　　　　　　C　　　　　　 D   

(9) 已知F₁, F₂是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F₁QF₂平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　)

A　直线　　　  B　圆　　　　  C　椭圆　　　  D　双曲线

(10) 对于抛物线C: y²=4x, 我们称满足y₀²<4x₀的点M(x₀, y₀)在抛物线的内部, 若点M(x₀, y₀)在抛物线的内部, 则直线l: y₀y=2(x+ x₀)与C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　　)

A 恰有一个公共点　　　　　　　　　　 B恰有二个公共点　　

C 有一个公共点也可能有二个公共点　　 D 没有公共点　

二.填空题

(11)圆x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有　　　 个.

(12)对任意实数k,直线y=kx+b与椭圆(0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是　　　　　　  .

(13)已知F₁、F₂是椭圆+y²=1的两个焦点, P是该椭圆上的一个动点, 则PF₁·PF₂的最大值是　　　　　　 .

(14) 定长为l (l>)的线段AB的端点在双曲线b²x²-a²y²=a²b²的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为　　　　　　　　　  .

三.解答题

(15) 如图，过抛物线y²=2px (p>0) 上一定点P(x₀, y₀) (y₀>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，

求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。

(16) 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

　 （Ⅰ）动点P的轨迹方程；

　 （Ⅱ）的最小值与最大值.

 

(17) 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q

在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的

取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲

线的方程.

(18)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，OF=2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，

证明:.

第十三单元

一选择题: 1.D　 2.C　 3.A　 4.B　 5.B　 6.C 　7.D　 8.C　 9.B　 10.D　　

二填空题: 11. 3,　　　　 12.  [-1,3],　　　　 13.　4,　　　　 14.　.

三解答题

(15)解（I）当y=时，x=，又抛物线y²=2px

的准线方程为x=－，由抛物线定义得，所以

距离为.

（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.

由=2px₁，=2px₀相减得　

　（y₁－y₀）(y₁+y₀)=2p(x₁－x₀)

故 k_PA=　（x₁≠x₀）同理可得　k_PB=（x₂≠x₀）由PA，PB

倾斜角互补知k_PA=－k_PB，即=－，所以y₁+y₂=－2y₀，故

设直线AB的斜率为k_AB. 由=2px₂，=2px₁相减得（y₂－y₁）(y₂+y₁)=2p(x₂－x₁)，

所以k_AB=（x₁≠x₂）将 y₁+y₂=－2y₀　 (y₀>0 )代入得k_AB=

=－，所以k_AB是非零常数.

(16) （Ⅰ）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为

①

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

②

　　　　的解.将①代入②并化简得，，所以

于是

设点P的坐标为则消去参数k得　 ③　当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以　④ 　　⑤.　　④—⑤得，所以

　　 当时，有

　 ⑥并且　　⑦　 将⑦代入⑥并整理得 　　⑧.　　当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

（Ⅱ）解：由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为

(17) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1,∵即.∵

∴解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.　 ∴m的取值范围是(Ⅱ)可设双曲线方程为由得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为。直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为 即

(18)（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组

得依题意，得.设，则，　　 ①

.　　②　由直线PQ的方程得.于是

.　　③ ∵，∴.　　④.　由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或. （Ⅲ）证明：.由已知得方程组

注意，解得. 因，

故.

而，所以.