2005年全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
第一部分，选择题。
1． (2005全国卷Ⅰ文第6题) 已知双曲线
的一条准线为
，则该双曲线的离心率为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2 (2005全国卷Ⅰ理第6题) 已知双曲线的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线的离心率为
（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. （2005全国卷II文第5题）抛物线
上一点
的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为
( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4.(2005全国卷II文第6题) 双曲线
的渐近线方程是
( )
(A) 
(B)
(C)
(D)
5. (2005全国卷II理第6题) 已知双曲线
的焦点为
、
，点
在双曲线上且
轴，则到直线
的距离为 (
)
(A) 
(B)
(C)
(D)
6. (2005全国卷III理第9题，文第9题) 已知双曲线
的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且
则点M到x轴的距离为
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7. (2005全国卷III理第10题，文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. （2005辽宁卷第11题）
已知双曲线的中心在原点，离心率为
.若它的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是
（ ）
A．2+
B．
C．
D．21
9.（2005江苏卷第6题）抛物线y=4
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 (
)
( A ) 
(
B ) 
(
C ) 
(
D ) 0
10. （2005江苏卷第11题） 点P(-3,1)在椭圆
的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线
=－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为
( )
( A ) 
(
B ) 
(
C ) 
( D )
11. （2005广东卷第5题）若焦点在x轴上的椭圆
的离心率为
，则m= (
)
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）
（Ｄ）
12. （2005重庆卷理第9题，文第9题）
若动点(x,y)在曲线
(b>0)上变化，则x2+2y的最大值为
( )
(A) 
； (B) 
；
(C) 
； (D) 2b。
13. （2005天津卷理第5题，文第6题） 设双曲线以椭圆
长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2006天津卷理第6题） 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程
中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y) x<11且y<9}内的椭圆个数为
（ ）
A．43 B． 72 C． 86 D． 90
15.（2005湖南卷理第7题，文第8题）已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
（O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A．30º B．45º C．60º D．90º
16. （2005湖北卷理第5题，文第6题）双曲线
离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
17. （2005福建卷文第9题）
已知定点A、B且AB=4，动点P满足PA－PB=3，则PA的最小值是 （ ）
A． B． C．
D．5
18.（2005福建卷理第10题）已知F1、F2是双曲线
的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
19. （2005福建卷理第11题）设
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．－3 D．
20. (2005浙江卷文第9题) 数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ （ ）
(A)
(B)
(C) (D)1
21. （2005上海理第15题）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线
（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
22. （2005山东卷理第12题） 直线
关于原点对称的直线为
，若与椭圆
的交点为A、B，点
为椭圆上的动点，则使
的面积为的点的个数为
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第二部分，填空题
23. (2005重庆卷文第16题)
已知
，B是圆F：
(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_____________。
24. (2005重庆卷理第16题)
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
25. (2005北京卷文第9题)
抛物线y2=4x的准线方程是 ；焦点坐标是 ．
26．（2005江西卷理第16题，文第16题）
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
则动点P的轨迹为椭圆；
③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
27. (2005浙江卷理第13题，文第13题)
过双曲线
(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
28. （2005上海理第5题）
若双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，则双曲线的方程是__________。
29. （2005上海文第7题）
若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2
,0),则椭圆的标准方程是_______________．
30. （2005山东卷理第14题）
设双曲线
的右焦点为
，右准线
与两条渐近线交于P、
两点，如果
是直角三角形，则双曲线的离心率
.
第三部分，解答题
31. (2005全国卷Ⅰ理第21题，文第22题)
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值.
32. (2005全国卷II理第21题，文第22题)
、
、、
四点都在椭圆
上，
为椭圆在
轴正半轴上的焦点．已知
与
共线，
与
共线，且
．求四边形
的面积的最小值和最大值．
33．(2005全国卷III理第21题，文第22题)
设
两点在抛物线
上，是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当
取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（文Ⅱ）当
时，求直线的方程.
（理Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
34.（2005辽宁卷第21题，满分14分）
已知椭圆
的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=
若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
35．（2005广东卷第17题）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线
上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足
（如图４所示）．
（Ⅰ）求
得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
（35题图） (36题图) (37题图)
36．（2005江西卷文第21题，满分12分）
如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹
37．（2005江西卷理第22题，满分14分）
如图，设抛物线
的焦点为F，动点P在直线
上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
38. (2005重庆卷文第21题，满分12分)
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
(其中O为原点)，求k的取值范围。
39. (2005重庆卷理第21题，满分12分)
已知椭圆C1的方程为
，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
(其中O为原点)，求k的取值范围。
40. (2005浙江卷文第19题)
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，MA1∶A1F1＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．
41. (2005浙江卷理第17题)
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，MA1∶A1F1＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(m＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．
42. （2005天津卷理第21题，文第22题，满分14分）
抛物线C的方程为
，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x
0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足
.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当
=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标
的取值范围.
43. （2005上海卷文第21题，本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分,
第3小题满分6分.）
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
44. （2005上海理第19题，，本题共有3个小题,满分14分，其中第1小题满分6分, 第2小题满分8分）
如图，点A、B分别是椭圆
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，
。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M的距离
的最小值。
45. （2005山东卷理第22题，文第22题）
已知动圆过定点
，且与直线
相切，其中
.
（I）求动圆圆心
的轨迹的方程；
（理II）设A、B是轨迹上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
（文II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且
时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标
46．（2005湖南卷理第19题，文第21题，满分14分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
＝λ
.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若
，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
47.（2005湖北卷理第21题，文第22题）
设A、B是椭圆
上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
48．（2005福建卷理第21题，文第22题）
已知方向向量为
的直线l过点（
）和椭圆
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
49.（2005北京卷理第18题，文第20题）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
参考答案
1．D 2．D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. A
11. B 12. A 13. C 14．B 15. D 16. A 17. C 18. D 19. C
20. B 21. B 22. B
23.
24.②③⑤ 25. x=－1；(1, 0)
26．③④ 27.
2 28. 
29.
30.
.
31. (2005全国卷Ⅰ理第21题，文第22题)
解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得
.
令
则 
共线，得
又
∴
∴
即
，∴
∴
故离心率为
（II）证明：由（I）知
，所以椭圆
可化为
.
设
，由已知得
在椭圆上， 
即 
①
由（I）知
∴
∴
又
又，代入①得 
故
为定值，定值为1
32. (2005全国卷II理第21题，文第22题)
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=
+1
将此式代入椭圆方程得(2+
)+2－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(
，
)，(
，
)，则
从而
亦即
(1)当
≠0时，MN的斜率为－
，同上可推得
故四边形面积
令
=
得
∵=≥2
当=±1时=2，S=
且S是以为自变量的增函数
∴
②当=0时，MN为椭圆长轴，MN=2
，PQ=。∴S=PQMN=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。
33．(2005全国卷III理第21题，文第22题)
解：（Ⅰ）
＜法一＞
两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线，
不同时为0，
∴上述条件等价于
∵
， ∴上述条件等价于 
即当且仅当
时，l经过抛物线的焦点F.
＜法二＞
∵抛物线，即
，
∴焦点为
………………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线：y=kx+b
由已知得：
……………5分
……………7分
即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分
所以当且仅当
=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分
（文Ⅱ）
当
时，
直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：
………………………11分
…………………………………………13分
所以直线的方程为
（理II）
设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为
；过点A、B的直线方程可写为
，所以
满足方程
得
；
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为
，则
由
即得l在y轴上截距的取值范围为（
）.
34.（2005辽宁卷第21题，满分14分）
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P
在椭圆上，得
由
，所以 
………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得
，即
由
，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上.
当
时，由
，得
.
又
，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当时，由
，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（
），则
因此
①
由
得
②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
|
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，
，
由
，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记
，
由
知
，所以
…………14分
35．（2005广东卷第17题）
解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
…（1）
∵OA⊥OB ∴
,即
，……(2)
又点A，B在抛物线上，有
，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当
即
时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
36．（2005江西卷文第21题，满分12分）
解：（1）设M（y
,y0），直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为－k，方程为
∴由
，消
解得
∴
(定值)
所以直线EF的斜率为定值
（2）
直线ME的方程为
由
得
同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数
得
37．（2005江西卷理第22题，满分14分）
解：（1）设切点A、B坐标分别为
，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 
，
所以
，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当
所以P点坐标为
，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当
时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
同理可得到P点到直线BF的距离
，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
38. (2005重庆卷文第21题，满分12分)
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即
① 设
，则
而
于是
②
由①、②得 
故k的取值范围为
39. (2005重庆卷理第21题，满分12分)
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为
，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 
①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
40. (2005浙江卷文第19题)
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
解：(Ⅰ)设椭圆方程为
，半焦距为
，则
(Ⅱ)
41. (2005浙江卷理第17题)
解：（Ｉ）设椭圆方程为
（
），半焦距为c, 则
,
,
由题意，得 
,解得 
故椭圆方程为
（II）设P(
当
时，
当
时, 
只需求
的最大值即可。
直线
的斜率
，直线
的斜率
当且仅当
=
时，
最大，
∴Q（m，±
），m＞1．
42. （2005天津卷理第21题，文第22题，满分14分）
解：（Ⅰ）由抛物线的方程
（
）得，焦点坐标为
，准线方程为
．
（Ⅱ）证明：设直线
的方程为
，直线
的方程为
．
点
和点
的坐标是方程组
的解．将②式代入①式得
，于是
，故
③
又点和点
的坐标是方程组
的解．将⑤式代入④式得
．于是
，故
．
由已知得，
，则
． ⑥
设点
的坐标为
，由
，则
．
将③式和⑥式代入上式得
，即
．
∴线段
的中点在轴上．
（Ⅲ）因为点
在抛物线上，所以
，抛物线方程为
．
由③式知
，代入得
．
将
代入⑥式得
，代入得
．
因此，直线、分别与抛物线的交点
、
的坐标为
，
．
于是
，
，
．
因
为钝角且、、三点互不相同，故必有
．
求得
的取值范围是
或
．又点的纵坐标满足
，故当时，
；当时，
．即
43. （2005上海卷文第21题，本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分,
第3小题满分6分.）
[解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-
,于是4+=5, ∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-
,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=
,y=
,
∴N的坐标(,).
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=
(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=
,令d>2,解得m>1
∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切;
当m<1时, AK与圆M相交.
44. （2005上海理第19题，，本题共有3个小题,满分14分，其中第1小题满分6分, 第2小题满分8分）
[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则
={+6, },
={－4, },由已知可得
则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=
.
∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(
,0),则M到直线AP的距离是
.
于是=
,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=
时,d取得最小值
45. （2005山东卷理第22题，文第22题）
解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为
，由题意知：
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中
为焦点，为准线，所以轨迹方程为
；
（理II）如图，设
，由题意得
（否则
）且
所以直线的斜率存在，设其方程为
，显然
，将与联立消去，得
由韦达定理知
①
（1）当
时，即
时，
所以
，
所以
由①知：
所以
因此直线的方程可表示为
，即
所以直线恒过定点
（2）当
时，由
，得
=
=
将①式代入上式整理化简可得：
，所以
，
此时，直线的方程可表示为
即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.
（文II）
直线的方程可表示为
即
所以，直线恒过定点
.
46．（2005湖南卷理第19题，文第21题，满分14分）
（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：
与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是
.
所以点M的坐标是（
）. 由
即
证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是
设M的坐标是
所以
因为点M在椭圆上，所以 
即
解得
（Ⅱ）当时，
，所以
由△MF1F2的周长为6，得
所以
椭圆方程为
（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2，即
设点F1到l的距离为d，由
得
所以
即当
△PF1F2为等腰三角形.
解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2，
设点P的坐标是，
则
由PF1=F1F2得
两边同时除以4a2，化简得
从而
于是
. 即当
时，△PF1F2为等腰三角形.
47.（2005湖北卷理第21题，文第22题）
（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为
，整理得
①
设
①的两个不同的根，
②
是线段AB的中点，得
解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+
）.
于是，直线AB的方程为
解法2：设
依题意，
（II）解法1：
代入椭圆方程，整理得
③
③的两根，
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程
⑤
同理可得
⑥
假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当
时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，
为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆
△ACD为直角三角形，A为直角
⑧
由⑥式知，⑧式左边=
由④和⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆
解法2：由（II）解法1及.
代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程
代入椭圆方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得 
不妨设
∴
计算可得
，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
48．（2005福建卷理第21题，文第22题）
（I）解法一：直线
， ①
过原点垂直的直线方程为
， ②
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为
③
解法二：直线.
设原点关于直线对称点为（p，q），则
解得p=3.
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
（II）解法一：设M（
），N（
）.
当直线m不垂直轴时，直线
代入③，整理得
点O到直线MN的距离
即 
|
即
整理得
当直线m垂直x轴时，也满足
.
故直线m的方程为
或
或
经检验上述直线均满足
.所以所求直线方程为
或或
解法二：设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得
∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，
∴MN=ME+NE
=
以下与解法一相同.
解法三：设M（），N（）.
设直线
，代入③，整理得
即
∴
=
，整理得
解得
或
故直线m的方程为或或
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为或或
49.（2005北京卷理第18题，文第20题）
解：（I）W1={(x, y) kx<y<－kx, x<0}，W2={(x, y) －kx<y<kx, x>0}，
（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得
, 即
，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 
，即
,
所以动点P的轨迹C的方程为；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由
，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△=
>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则
, 
,
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由
得
从而
，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．