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山西省首批重点中学2005年四校联考试题
数学试题（理）
说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义集合 A﹡B=｛x︱x
A且x
B｝ 若A=｛1、2、3、4、5｝
B=｛2、4、5｝则A﹡B的子集个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.已知
为正实数，奇函数
与直线
有两个交点，则方程
的实数根的个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
3.若存在实数
、
，使得对于
所在平面外一点
，有
，则有（
）
（A）
平面
；
（B）
平面；
（C）
在平面内； （D）点
在直线
上．
4.对于函数
作
的代换，则总不改变函数的值域的代换是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.已知p：不等式
的解集为R，q：
是减函数，则p是q的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6.若
…
的展开式中的一次项系数为
，则
的值等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是PB、PC的中点，若截面AMN⊥面PBC，此棱锥侧面积与底面积的比为（ ）
（A）
（B）
(C)
(D)
8.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元；某人想选定吉利号18，然后再从01至17号选3个连续的号；从19至29号选2个连续的号；从30至36号中选一个号组成一注，则这个人把这种要求的号买全，至少要花（ ）
(A) 1050元 (B) 1052元 (C) 2100元 (D) 2102元
9.已知有相同的两焦点
、
的椭圆
和双曲线
，是它们的一个交点，则
（ ）
（A） 1 （B）
（C） 0 （D）随
、的变化而变化
10.函数
当
时，其抛物线在x轴上截得的线段的长度依次为
则
的值是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11.向量
与
的夹角为
,则直线
与圆
的位置关系是（ ）
（A）相切
（B）相交 （C）相离 （D）随
的位置而定
12.下列各组复合命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（ ）
（A） p：
（B） p：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a，b都相交；q：在
ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B
（C）p：不等式
的解集为
，q：
在第一象限在第一象限内是增函数
（D）p：
q：椭圆
的一条准线方程是
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
13.若二项式
展开式的第四项是常数项，则正整数n的值为
.
14.容量为100的样本数据，按从大到小的顺序分为10个组，如下表
| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 14 | 13 | 11 | 7 | 5 |
则第三组的频率和累积频率分别是 .
15.函数
的一条对称轴方程是 
，则分别以
的绝对值为椭圆的长半轴和短半轴的椭圆的离心率为 .
16.已知m、n是直线，α,β,γ是平面，给出下列命题
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α,n⊥β,则α∥β
③若α内不共线三点A，B，C到β的距离都相等，则α∥β
④若nÌα,mÌα,且n∥β,m∥β,则α∥β
⑤若m,n为异面直线，且nÌα,n∥β,mÌβ,m∥α,则α∥β
则其中正确的是 .
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在中，
分别是
的对边长，已知成等比数列，
，求
的大小及
的值。
18．（本小题满分12分）
两个人射击，甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知
、
是方程x2－5x＋6＝0的两根,若两人各射击5次，甲的方差是
，乙的方差是
.
（1）求P1和P2.
（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
19．(本小题满分12分)
已知函数
，
（1）求的单调区间；
（2）当
时，经过函数的图象上任意一点的切线的倾斜角
总在区间
范围内，试求实数的取值范围.
20．(本小题满分12分)
在直三棱柱
中，
是的中点，
是
上的点。已知
。
（1）求证：
；
（2）设二面角
的大小为45°，
，如果
，求
与平面
所成角的大小。
21．(本小题满分12分)
在数列
中，
为其前n项和，已知
且
（
）
（1）证明数列
为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）计算 
；
22．(本小题满分14分)
如图所示，在Rt△ABC中，
D是线段AB的垂直平分线上的点，D到AB的距离为2，过点C的曲线E上任意一点P满足
为常数。
（1）建立适当的坐标系，求出曲线E的方程；
（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N，且M点在D、N之间，若
，求
的取值范围。
山西省首批重点中学2004年四校联考试题
(理科)数学试题参考答案及评分标准 2004、4
一、D D B D A B DC C A C B
二、13. 12 14．0.1和0.23 15. 
16．(2)(5)
三、解答题：
17、解：由条件
(2分)
得：
（4分）
又
(6分)
由正弦定理：
及
,得
。
（12分）
18.（1）由题意可知
甲5P1（1－P1）＝
乙5P2（1－P2）＝ －－－－－－－2’
＋
＝5
· ＝6－－－－－－－－－－－－3’
∴P1＝
P2＝
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5’
（2）两类情况；
共击中3次
共击中4次
19．解：（1）
……1分
当
时，令
解得
，令
解得
所以的递增区间为
，递减区间为
.……3分
当
时，同理可得的递增区间为
，递减区间为
.……5分
（2）当时，
，……6分
因为
，所以
， 即 
，
所以
，
……9分
若
，则不等式恒成立，当
时，可得 
且 
恒成立，又
，所以
……12分
20、（1）证：
，D是BC的中点，
（1分）
又三棱住ABC-A1B1C1为直三棱柱，
面ABC，
(3分)
（4分）
（2）由（1）知：
为二面角E-AD-C1的平面角，
（6分）
又C1E=ED，
为等腰直角三角形，
为AC1与平面ADE所成角
（8分）
（10分）
∴AC1与平面ADE所成角的大小为arcsin
（12分）
21、（1）证明:由Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=O,所以Sn+1- Sn=2(Sn- Sn-1)-1
因为Sn+1- Sn=an+1 Sn- Sn-1=aN(n
2) 所以an+1=2an-1(n2)
又a1=
a2=2 也满足上式，所以an+1=2an-1(n
),则an+1-1=2（an-1）
即
{ an-1}是公比为2的等比数列
(文6分，理4分)
（2）解由（1）知an-1=(a1-1)2n-1=×2n-1=2n-2
an=2n-2+1 (n) ……………………………………(文12分，理8分)
（3）解
Sn=+1+2+22+……+2n-2+n=(2n-1)+n
|
|
，则lim
=lim 
…12分
22、解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系，
，
（2分）
所以动点的轨迹是以AB为焦点的椭圆，且
，
故E的方程为：
（4分）
（2）若l与y轴重合，DM=1，DN=3，
；
（5分）
若l与y轴不重合，D的坐标为（0，2），设直线MN的方程为：
,把它代入椭圆E的方程整理得：
，
（6分）
,
且
，
（8分）
设
，又D（0，2），且，则
这里
,
（11分）
又
（13分）
综上：
（14分