2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州
一、 实数
满足
，求证：
．
证明
只需对任意
，证明不等式成立即可．
记
，则
，
，
，
，
把上面这n个等式相加，并利用可得
．
由Cauchy 不等式可得
，
所以
．
二、正整数
（可以有相同的）使得
两两不相等．问：中最少有多少个不同的数？
解 答案：
中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故
中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的．
设
为46个互不相同的素数，构造如下：
，
，
，
，
这2006个正整数满足要求．
所以中最少有46个互不相同的数．
三、正整数m，n，k满足：
，证明不定方程
和
中至少有一个有奇数解
．
证明 首先我们证明如下一个
引理：不定方程
①
或有奇数解
，或有满足
②
的偶数解，其中k是整数．
引理的证明 考虑如下表示
，
则共有
个表示，因此存在整数
，
，满足
，且
，
这表明
，
③
这里
。由此可得
，
故
，因为
，所以
，
于是
．因为m为奇数，
，
显然没有整数解．
（1）
若
，则
是方程①满足②的解．
（2）
若
，则
是方程①满足②的解．
（3）
若
，则
．
首先假设
m
，且
，则
④
是方程①满足②的解．若
，则
⑤
是方程①满足②的解．
现在假设
，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
，则
．
因为
的奇偶性不同，所以
，
都为奇数．
若
，则
是方程①的一奇数解．
若
，则
是方程①的一奇数解．
（4）
，则
．
当m
，或
，则
⑥
是方程①满足②的解．
若
，或
，则
⑦
是方程①满足②的解．
当
，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则
，
可得
．
若 
，或者 
，或者
，则
是方程①的一奇数解．
若 
，或
，则
是方程①的一奇数解．
引理证毕．
由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解．令
，考虑二次方程
，
⑧
则
，
这表明方程⑧至少有一个整数根，即
， ⑨
上式表明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得
，
这表明方程
有奇数解
．
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第二天
福州
四、在直角三角形ABC中，
，△ABC 的内切圆O分
别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若
，求证：
．
证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．
因为
，所以
．
延长AD至Q，使得
，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得
，
①
．
②
因为
∽
，所以
，故
．
③
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
，
④
．
⑤
③－②，得
，
⑥
①÷⑥，得
，
所以
，
⑦
②×⑦，结合④，得 
，
整理得
．
⑧
又⑤式可写为
，
⑨
由⑧，⑨得
．
⑩
又⑤式还可写为
，
11
把上式代入⑩，消去
，得
，
解得
，
代入11得，
，
将上面的x，y代入④，得
，
结合②，得
，
从而
，
所以，
，即 
．
五、实数列
满足：
，
，
．
证明不等式
．
证明 首先，用数学归纳法证明：
．
时，命题显然成立．
假设命题对
成立，即有
．
设
，则
是减函数，于是
,
，
即命题对n＋1也成立．
原命题等价于
．
设
，则是凸函数，即对
，有
．
事实上，等价于
，
．
所以，由Jenson 不等式可得
，
即
．
另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得
，
所以
，
故
，
从而原命题得证．
六、设X是一个56元集合．求最小的正整数n，使得对X的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．
解 n的最小值为41．
首先证明
合乎条件．用反证法．假定存在X的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A，至少含有
＝8个元素，又设其它14个子集为
．考察不含A的任何7个子集，都对应X中的41个元素，所有不含A的7－子集组一共至少对应
个元素．另一方面，对于元素a，若
，则中有2个含有a，于是a被计算了
次；若
，则中有一个含有a，于是a被计算了
次，于是
，
由此可得
，矛盾．
其次证明
．
用反证法．假定
，设
，令
，
．
显然，
，
，
，
，于是，对其中任何3个子集，必有2个同时为
，或者同时为
，其交为空集．
对其中任何7个子集
，有
，
任何3个子集的交为空集，所以．
综上所述，n的最小值为41．