2006年黄浦区高考模拟考
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟 满分：１５０分） ２００６.４.２０上午
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
| 得分 |
一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）
1、计算：
＝ .
2、已知：
则
的值是 .
3、若常数ｂ满足
则
.
4、若
，且
则ｋ的值是 .
5、函数
的最小正周期为 .
6、函数
在区间
上的最小值为 .
7、［理］（
展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 项.
［文］不等式
的解集是 .
１０、 某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是 （结果用既约分数表示）.
9、从集合
中任选两个不同元素作为椭圆方程
中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ
内的椭圆有 个.
１２、 
已知双曲线
的焦点为
，点Ｍ在双曲线上，且
则点Ｍ到ｘ轴的距离为 .
11、已知四面体ABCD,沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，
得到
（如图），试写出四面体ABCD应满足的一个性质：
.
１３、 已知集合A= 
，这里a，b,c,d为实数，若
，且
，则函数
可以是 （只有写出一个满足条件的函数）.
二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分）
13、已知函数f(x)= 
满足
，则实数a的值为 （ ）
A． 1
B. 
C. 
D.
-1
14、“a=b”直线
与圆
的
（ ）
A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
15、已知两线段
,b=
,若以a,b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（ ）
A.
B .
C. 
D. 
16、设b>0,二次函数
的图像为下列之一，
则a的值为 （ ）
A. 1
B. 
C.
D.
三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）
17、已知向量
且A、B、C三点共线，求
的值.
18、已知数列
的通项公式为
.求
（1）求数列中的最大项及其值；
（2）求数列中的最小项及其值.
19、【理】在直棱柱
中，已知
（1）求使
的充要条件（用
表示）；
（2）求证
为锐角；
（3）若
则是否可能为
？证明你的结论.
【文】设
为正数，直角坐标平面内的点集
（1）画出A所表示的平面区域；
（2）在平面直角坐标系中，规定
时，
称为格点，当
时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；
（3）点集A连同它的边界构成的区域记为
，若圆
，求
的最大值.
20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）
万件与去年促销费
（万元）（
）满足
.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2006年该产品的利润
万元表示为年促销费（万元）的函数；
（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
21、已知抛物线
（为实常数）.
（1）求所有抛物线
的公共点坐标；
（2）当实数取遍一切实数时，求抛物线的焦点方程.
【理】（3）是否存在一条以轴为对称轴，且过点
的开口向下的抛物线，使它与某个只有一个公共点？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.
【文】（3）是否存在直线
（
为实常数），使它与所有的抛物线都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.
22、已知函数
的定义域为
，对任意
，有恒等式
；且当
时，
.
（1）求
的值；
（2）求证：当
时，恒有
；
（3）求证：
上为减函数；
【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】
（4）由上一小题知：
上的减函数，因而
的反函数
存在，试根据已知恒等式猜想具有的性质，并给出证明.
2006年黄浦区高考模拟考 数 学 试 卷
参考答案
（完卷时间：120分钟 满分：１５０分） ２００６.４.２０上午
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
| 得分 |
一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）
1、计算：＝ 
.
2、已知：则的值是 
.
3、若常数ｂ满足则 
.
4、若，且则ｋ的值是 .
5、函数的最小正周期为 
.
6、函数在区间上的最小值为 
.
7、［理］（展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 
项.
［文］不等式的解集是 
.
８、
某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是 
（结果用既约分数表示）.
9、从集合中任选两个不同元素作为椭圆方程中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ内的椭圆有 
个.
１１、 已知双曲线的焦点为，点Ｍ在双曲线上，且则点Ｍ到ｘ轴的距离为 
.
11、已知四面体ABCD,沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，
得到（如图），试写出四面体ABCD应满足的一个性质：
四面体
的每组对棱相等（答案不唯一，可填“四面体的四个面是四个全等三角形”；或填“四面体每个顶点为公共顶点的三个面角之和为”） .
１４、 已知集合A= ，这里a，b,c,d为实数，若，且，则函数可以是 
（只有写出一个满足条件的函数）.
二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分）
13、已知函数f(x)= 满足，则实数a的值为 （ B ）
A． 1
B. C. D.
-1
14、“a=b”直线与圆 的
（
A ）
A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
15、已知两线段,b=,若以a,b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（D ）
A.
B .
C. D.
16、设b>0,二次函数的图像为下列之一，
则a的值为 （ B ）
A. 1
B. C.
D.
三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）
17、已知向量且A、B、C三点共线，求的值.
，
----------------------------4分
三点共线，
存在实常数
，使
-----------------------------------------8分
-----------------------------------------------------------------------------------------------12分
18、已知数列的通项公式为.求
（1）求数列中的最大项及其值；
（2）求数列中的最小项及其值.
当
时，
从而
故
为数列
的最大项----------------------------------------------------------------------4分
随
的增大而减小，又
--------------------------------------------8分
中与距离最近的数是
故
是数列的最小项--------------------12分
19、【理】在直棱柱中，已知
（1）求使的充要条件（用表示）；
（2）求证为锐角；
（3）若则是否可能为？证明你的结论.
【文】设为正数，直角坐标平面内的点集
（1）画出A所表示的平面区域；
（2）在平面直角坐标系中，规定时，称为格点，当时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；
（3）点集A连同它的边界构成的区域记为，若圆，求的最大值.
------2分
即的充分条件是
---------------------------------------------6分
，
为锐角-------------------------------------------------------------------8分
代入上式得，
解得
---------------------------------------------------------------11分
若解当时，
--------------14分
[文] 
是三角形三边长
---------------------------------------8分
点集
构成的平面区域为等腰直角三角形
，如上图阴影部分表示（不包括边界）。
当时，内有3个格点--------------------------------------------------------10分
为包括边界的三角形区域，形内的最大圆即是
的内切圆，其半径为
-------------------------------------------------------------------------14分
20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与去年促销费（万元）（）满足.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2006年该产品的利润万元表示为年促销费（万元）的函数；
（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
每件产品的成本为
元，故2006年的利润
-------------------------------------------4分
=
（万元），----------------------------------7分
----------------------------11分
等号当且仅当
，即
（万元）时成立。
故2006年该产品利润的最大枝为21万元，此时促销费为3万元。----------------------14分
21、已知抛物线（为实常数）.
（1）求所有抛物线的公共点坐标；
（2）当实数取遍一切实数时，求抛物线的焦点方程.
【理】（3）是否存在一条以轴为对称轴，且过点的开口向下的抛物线，使它与某个只有一个公共点？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.
【文】（3）是否存在直线（为实常数），使它与所有的抛物线都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.
将抛物线的方程该写成，
所有的抛物线过完点
，即是所有抛物线的公共点。-------------4分
，即
抛物线的顶点为
，焦点坐标为
消去得焦点的轨迹方程：
-----------------------------------------------------10分
[理] 以轴为对称轴，且过点的开口向
的抛物线可写成
------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
设他与抛物线只有一个公共点，则方程
即
有两个相等的实根，
----14分
由
故当
时，存在一条以轴为对称轴且过点的开口向下的抛物线，
与只有一个公共点------------------------------------------------16分
[文] 设与一切有公共点，则方程
，
即
有实根
对一切
成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分
从而
当
时直线与一切都有公共点。---------------------------------------16分
22、已知函数的定义域为，对任意，有恒等式；且当时，.
（1）求的值；
（2）求证：当时，恒有；
（3）求证：上为减函数；
【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】
（4）由上一小题知：上的减函数，因而的反函数存在，试根据已知恒等式猜想具有的性质，并给出证明.
在已知等式中含
，得
，
----------理3分，文5分
取
得
但
，
-------------------------------------------------理6分，文10分
设
，并令
，则
于是
在
上为减函数----------------------------------------------------理12分，文18分
在
的定义域内，恒有
-----------理14分
证明如下：设
，则
且
由题意设
-------------------------------------------------理18分