数学高考英山一中2007届高三8月月考试题

英山一中2007届高三8月月考试题

　　　　　　　　　　　　 时间:2006.8.20

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1.命题“若，则”的否命题是　　　　　　　　　　　　 　（　　 ）

A．若，则　　　　  　B．若，则

C．若，则　　　　　  D．若，则

2.若，则下列结论不正确的是　　　　　　　　　　  　　　　　 （　　）

　　　　　　　 

3. 已知函数y=f（n）,(nN^*),如果7f（n）=f（n－1）,f (1)=3,则[f（1）＋f（2）＋…＋f（n）]=(　　)　

A.0　　　B.　　　C. 　　　 D.3

4.已知l,m,表示直线，表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是(　 )　　

条件：①l⊥m,l⊥,m⊥　②∥,∥③l⊥,∥;　④ l⊥,m⊥

结论：a: l ⊥　　  b:  ⊥　 c: l∥m 　d: ∥

A ①a,②b,③c,④d　　 B ①b,②d,③a,④c

C ①c,②d,③a,④b　　 D ①d,②b,③a,④c

5. 当n∈N且n≥2时，1+2+2²+…+2^4n-1=5p+q，其中p,q为非负整数，且0≤q＜5，则q的值为　（　　）

　　A.0　　　　　　　 B.2　　　　　　　 C.2　　　　　　　 D.与n有关

6. 已知数列{a_n}中，a₁=8, a₂ =4且满足a_n+1－2a_n+ a_n-1=0(n∈N^*,n≥2)，则数列{a_n}的前

30项的绝对值的和为(　 )

（A）870　　  （B）830　　　（C）1524　　 （D）1512

y 2 1 O

y 2 1 O

y 2 1 O

y 2 1 O

7．已知，则下列函数的图象错误的是 （　　  ）　　

　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8定义运算 ，若复数， ，则(　 )

A. -4　　　　B.4　　　　 C.2　　　　D.－2

9．如果 (sinx) ′＝cosx ， (cosx) ′＝－sinx，设 f₀(x)＝sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n+1(x)＝f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₆(x)＝　　　　　　　　　 （  　）

A.sinx　　　　B.－sinx　　　　 C.cosx　　　　D.－cosx

10. 已知点A（1,0）,B（1,）,将线段OA, AB 均n等分，设OA 上从左至右的第k个分点为A_k, AB上从下至上的第k个分点为B_k（1≤k≤n）,过点A_k,且垂直于x轴的直线为l_k,OB_k交l_k于点P_k在同一　　(　　)　

A圆上　　B椭圆上　　 C双曲线上　　 D抛物线上

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知集合，若，则a 的取值范围为　　　　 .

12．对于正整数和，定义！=，其中，且是满足的最大整数，则（！）/（10！）=___________

13．设正数数列{ a_n}为等比数列，且a₂=4,a₄=16,则　　　　　　   

14．对于长和宽分别是2和1的矩形来说，总存在另外一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形的m倍，则m的取值范围是________

15．对于任意实数x , y ，定义运算，其中a, b, c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知1*2=3,　2*3=4，且有一个非零的实数m，使得对任意实数x，都有x* m=x，则m=　　　 .

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

若方程（其中的两实根为α、β，数列1，

，（，……的所有项的和为2－，试求θ的值。

17． 在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁B₁是A₁C和B₁C₁的公垂线段，A₁B与平面ABC成60°角，AB=，A₁A=AC=2

（1）求证：AB⊥平面A₁BC；

（2）求A₁到平面ABC的距离；

（3）求二面角A₁—AC—B的大小.

18．（12分）某种比赛的规则是5局3胜制，甲乙两人在比赛中获胜的概率分别是和。　(1)若前三局中乙以2：1领先，已成定局，求乙获胜的概率。

(2)若胜一局得2分，负一局得－1分，求甲得分的数学期望。

19.  （12分）设函数f（x）=－x³＋2ax²－3a²x＋a（0<a<1）

（1）　　　 求函数f（x）的单调区间

（2）　　　 若当x[a, 2]时，恒有f（x）≤0，试确定a的取值范围

20．（13分）已知点A（1，0），B（0，1），C（1，1）和动点P（x，y）满足的等差中项.　　 （1）求P点的轨迹方程；

（2）设P点的轨迹为曲线C₁按向量平移后得到曲线C₂，曲线C₂上不同的两点M，N的连线交y轴于点Q（0，b），如果∠MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围;

（3）在（2）的条件下，如果b=2时，曲线C₂在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上.

21．（14分）已知二次函数的图象过点，且

（1）求的解析式；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）对于（2）中的数列，求证：①；②。

答案

CCBBA　CDBBD　 11．（－，+∞）; 12、；  13．；　14. [,　＋] 15．4

16．解： 、是方程的两实根

　　（1）　　……4分

由已知而　　　 …… 　满足（2）　　不满足（1）故……12分

17．解（1）∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁中A₁B₁是A₁C与B₁C₁的公垂线段，A₁C₁⊥B₁C₁

AB⊥BC，AB⊥A₁C又A₁C∩A₁B=A₁  ∴AB⊥平面A₁BC…………………4分

　 （2）∵AB平面ABC，AB⊥平面A₁BC　 ∴面ABC⊥面A₁BC作A₁O⊥BC垂足为O，则A₁O⊥平面ABC　…　 6分　 ∠A₁BC为A₁B与平面ABC所成角即∠A₁BC=60°在Rt△A₁AB中， A₁B=　　　　即A₁到平面ABC的距离为

 （3） 由O引垂线OH⊥AC垂足为H，连接A₁H由三垂线定理可证AC⊥A₁H

　　　　∴∠A₁HO为二面角A₁—AC—B平面角　　　　………………………11分

　在△ABC中解得OH=，在△OA₁H中解得

　　∴二面角A₁—AC—B大小为　　　　　　　　　　　………………14分

　　　 18解：（1）在以后的比赛中， 乙胜一场或两场都胜， 故乙获胜的概率P₁=C××＋（）²=

（2）=6,表示甲连续胜三场P（=6）=（）³=

=5 表示甲以3：1胜，P（=5）=C（）²××=

=4,表示甲以3：2胜利，P（=4）=C（）²×（）²×=

=1,表示甲以2：3失败，P（=1）= C（）²×（）²×=

=－1,表示甲以1：3失败，P（=－1）=C×（）²×=

=－3,表示甲以0：3失败，P（=－3）=（）³=

E=6×＋5×＋4×＋1×－1×－3×=

19　 20.解：（1）f’（x）=－x²＋4ax－3a²=－（x－a）（x－3a）

因为0<a<1，所以，f’（x）>0a<x<3a

f’（x）<0x<a或x>3a

所以递增区间为（a,3a）;递减区间为（3a,＋）,（－,a）

（2）∵x[a, 2]　

 ∴①当2≤3a,即≤a<1时，f（x）在区间[0，2]内是增函数。

 ∴f（x）_max=f（2）=－＋a－6a²

∴

②当2>3a即0<a<时，f（x）_max=f（3a）=a

∴无解。综上所述，a的取值范围是

20．（1）由题意可得则

又的等差中项

整理得点的轨迹方程为……………………………4分

（2）由（1）知

又平移公式为，代入曲线C₁的方程得到曲线C₂的方程为：

即　　　　　　　　　 ………………………………………………… 6分

曲线C₂的方程为.　如图由题意可设M，N所在的直线方程为，

由令

　　………………………8分

点M，N在抛物线上

又为锐角

………10分

（3）当b=2时，由（2）可得求导可得

抛物线C₂在点处的切线的斜率分别为，

在点M、N处的切线方程分别为

由解得交点R的坐标

满足点在定直线上……………………15分

21．（1）；

（2）；

（3）①()

当时，显然成立；

当时，；

②，

，所以不等式成立