数列部分
选择题
1. （广东卷）已知数列
满足
，
，
…．若
，则(B)
（Ａ）
（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５
2. （福建卷）3．已知等差数列
中，
的值是 （
A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3. （湖南卷）已知数列满足
，则
= （B ）
A．0 B．
C．
D．
4. （湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则
= （C）
A．2 B． C．1 D．
5. （湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (全国卷II) 如果数列
是等差数列，则(B )
(A)
(B)
(C) 
(D) 
8. (全国卷II) 11如果
为各项都大于零的等差数列，公差
，则(B)
(A)
(B)
(C)
(D)
9. （山东卷）
是首项
=1，公差为
=3的等差数列，如果
=2005，则序号
等于(C )
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
10. （上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2
i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3
是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2
12-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1
的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2
3 2 1
[答]( C )
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （浙江卷）
＝( C )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 7。
13. （江西卷）
填空题
1. （广东卷）
设平面内有ｎ条直线
，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用
表示这ｎ条直线交点的个数，则
_____5________；当ｎ＞４时，
＝__
___________．
2. （北京卷）已知n次多项式
,
如果在一种算法中，计算
（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算
的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算
的值共需要 n(n＋3)
次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：
（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的
值共需要 2n 次运算．
3. （湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2
.
4. (全国卷II) 在
和
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．
5. （山东卷）
6. （上海）12、用个不同的实数
可得到
个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第
行
，记
，
。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
=_-1080_________。
7、计算：
=_3 _________。
8. （天津卷）设
,则
9. （天津卷）在数列{an}中, a1=1,
a2=2,且
，
则
=_2600_ ___.
10. (重庆卷)
= -3
.
解答题
1.（北京卷）
设数列{an}的首项a1=a≠
，且
,
记
，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求
．
解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+
；
（II）∵ a4=a3+=a+
, 所以a5=a4=a+
,
所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),
猜想：{bn}是公比为的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·
（III）
.
2.（北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）
的值.
解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得
，
，
，
由
（n≥2），得
（n≥2），
又a2=
，所以an=
(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为
；
（II）由（I）可知
是首项为，公比为
项数为n的等比数列，∴ =
3．（福建卷）
已知{}是公比为q的等比数列，且
成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{
}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设
（Ⅱ）若
当
故
若
当
故对于
4. （福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+
我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,
bn+1=
，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若
，求a的取值范围.
（I）解法一：
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
5. （湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和Tn.
解：（1）：当
故{an}的通项公式为
的等差数列.
设{bn}的通项公式为
故
（II）
两式相减得
6. （湖北卷）已知不等式
为大于2的整数，
表示不超过
的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有 
所有不等式两边相加可得 
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设
，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由 
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得 
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
7. （湖南卷）已知数列
为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明
（I）解：设等差数列
的公差为d.
由
即d=1.
所以
即
（II）证明因为
，
所以
8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
9. （江苏卷）设数列｛an｝的前项和为
,已知a1=1,
a2=6, a3=11,且
, 
其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式
.
解：(Ⅰ)由
，
，
，得
，
，
．
把
分别代入
，得
解得，
，
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，即
， ①
又
． ②
②-①得，
，
即
． ③
又
． ④
④-③得，
，
∴
，
∴
，又
，
因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
．考虑
．
．
∴
．
即
，∴
．
因此，
．
10. （辽宁卷）已知函数
设数列
}满足
，数列
}满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明
；
（Ⅱ）证明
解：（Ⅰ）证明：当
因为a1=1，
所以
………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=
，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 
………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以 
…………10分 
故对任意
………………（12分）
11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列
的首项
，前n项和为，且
。
（Ⅰ）求的通项；
（Ⅱ）求
的前n项和
。
解：（Ⅰ）由 
得 
即
可得
因为
，所以 
解得
，因而 
（Ⅱ）因为是首项
、公比的等比数列，故
则数列
的前n项和 
前两式相减，得 
即 
12. (全国卷Ⅰ)
设等比数列
的公比为
，前n项和
。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设
，记
的前n项和为，试比较与的大小。
解：（Ⅰ）因为是等比数列，
当
上式等价于不等式组：
①
或
②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由
得
于是
又∵
>0且－1<<0或>0
当
或
时
即
当
且≠0时，
即
当
或=2时，
即
13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，
、
、
成等差数列．又
，
．
(Ⅰ) 证明
为等比数列；
(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于
，求数列的首项
和公差
．
(I)证明：∵、、成等差数列
∴2=+，即
又设等差数列的公差为，则(－)
=(－3)
这样
，从而(－)=0
∵≠0
∴=≠0
∴
∴
是首项为
=
，公比为
的等比数列。
(II)解。∵
∴=3
∴==3
14.(全国卷II)
已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．
(Ⅰ) 证明为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和
，求数列的首项和公差．
(注：无穷数列各项的和即当
时数列前
项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由
得
即
，得 
因
当=0时，{an}为正的常数列 就有
当=时，
,就有
于是数列{
}是公比为1或的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。
因而=≠0，这时公比=，
这样的前项和为
则S=
由
，得公差=3，首项==3
15. (全国卷III)
在等差数列中，公差
的等差中项.
已知数列
成等比数列，求数列
的通项
解：由题意得：
……………1分
即…………3分
又
…………4分
又成等比数列,
∴该数列的公比为
，………6分
所以
………8分
又
……………………………………10分
所以数列的通项为
……………………………12分
16. （山东卷）
已知数列的首项
前项和为，且
（I）证明数列
是等比数列；
（II）令
，求函数
在点
处的导数
并比较
与
的大小.
解：由已知可得
两式相减得
即
从而
当
时
所以
又
所以
从而
故总有
，
又
从而
即数列是等比数列；
（II）由（I）知
因为所以
从而
=
=
-
=
由上
-
=
=12
①
当时，①式=0所以
；
当
时，①式=-12
所以
当
时，
又
所以
即①
从而
17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+
=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
18. （天津卷）
已知
.
（Ⅰ）当
时，求数列
的前n项和；
（Ⅱ）求
.
（18）解：（Ⅰ）当时，
．这时数列
的前项和
． ①
①式两边同乘以
，得 
②
①式减去②式，得 
若
，
，
若
，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，则
．
当
时，
此时，
．
若
，
．
若
，
．
19. （天津卷）若公比为c的等比数列｛｝的首项＝1且满足：
（＝3，4，…）。
（I）求c的值。
（II）求数列｛
｝的前项和。
20. （浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得
由(1)(2)两式，解得
将
代入(3),整理得
解得 
或
故,
或
经验算，上述两组数符合题意。
21（浙江卷）设点
(
，0)，
和抛物线
：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－
，由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点
在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到
的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{}是等差数列．
解：（I）由题意，得
。
设点
是
上任意一点，则
令 
则
由题意，得
即
又
在上，
解得
故方程为
(II)设点是上任意一点，则
令
，则
.
由题意得g
，即
又
即
（*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时，
等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当
时，由（*）知 
又
即当时，等式成立。
由①②知，等式对
成立。
是等差数列。
22. (重庆卷)数列{an}满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0
(n³1)。记
(n³1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因
，
故猜想
因
，（否则将
代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故
的等比数列.
, 
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由
得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23. (重庆卷)数列{an}满足
.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：
；
（Ⅱ）已知不等式
，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，
，不等式成立.
（2）假设当
时不等式成立，即
那么
. 这就是说，当
时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：
成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到
求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证
成立，故
令
取对数并利用已知不等式得 
上式从2到n求和得 
因
故
成立
24. （江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3
求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以
，可得：
令
所以
………
又
∴
∴
25. （江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴
，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴
；
2°假设n=k时有
成立，
令
，在[0，2]上单调递增，所以由假设
有：
即
也即当n=k+1时 
成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项：
所以
,
又bn=－1，所以