2006年上海市十校（高三）数学测试
| 总分 | 一 | 二 | 三 | |||||
| 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |
一、填空题：（本大题满分48分）
1．若集合
，则
=
。
2．已知
是偶函数，定义域为
，则
=
。
3．函数
的反函数是
。
4．函数
的最小正周期是
。
5．函数
的对称中心是
。
6．已知等差数列
的公差
，且a1,a3,a9成等比数列，则
= 。
7． 在实数集R上定义运算∽：x∽y=x(1-y.),若(x-a)∽(x+a)<1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是 。
8．已知直线
，为使这条直线不经过第二象限，则实数
的范围是
。
9．在000，001，…，999,这1000个连号的自然数中抽奖，若抽到一个号码中，出现仅出现两个相同偶数则中奖，则一个号码能中奖的概率是 。
10．ΔABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，
，则实数m=
。
11．如图，在ΔABC中BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，若AB的长为x，则y与x函数关系式为
。
第11题图
12．若
，则
。
二、选择题：（本大题满分16分）
13．设A、B是锐角三角形的两个内角，则复数
对应点位于复平面的（
）。
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．直线
绕原点逆时针方向旋转300后，所得直线与圆
的位置关系是（
）。
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
15．如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且
，则双曲线的方程是（
）
y
B
O A F x
第15题图
A．
B．
C．
D．
16．在ΔABC中，
，则C等于（ ）
A．300 B．1500 C．300或1500 D．600或1200
二、解答题：（本大题满分86分）本大题共6题，解答各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）已知x∈R，z∈C，x、z满足
。
（1） 若z在复平面内对应的点Z在第一象限，求x的范围；
（2）
是否存在这样x，使
成立。
18．（本题满分12分，第（1）6分，第（2）6分）
某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元／m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2,再在四个空角（如ΔDQH等）上铺草坪，造价为80元/m2。
（1） 设总造价为S元，AD长为xm,试建立S与x的函数关系；
（2） 当x为何值时，S最小？并求这个最小值。
第18题图
19．（本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）
设
是
上的奇函数，对任意实数x，都有
，当
时，
。
（1） 试证：
是函数的一条对称轴；
（2） 证明函数是以4为周期的函数，并求
时，的解析式。
20．（本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）
在平面直角坐标系中，若
，且
。
（1）求动点
的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线
与曲线C交于A、B两点，设
，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程，不存在，说明理由。
21．（本题满分16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）
已知存在实数
（其中
）使得函数
是奇函数，且在
上是增函数。
（1）试用观察法猜出两组
与
的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的与的值。
22．（本题满分18分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
如图所示，是树形图形．第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度。
1)求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；
2)求第n层树形图的高度Hn；
3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”。显然，当
时是“矮小”的，是否存在
。使得当
时，该树形图是“高大”的?
参考答案及评分标准
一、填空题
1．
。
2．
。提示：定义域关于原点对称
。
3．
。
4．л。提示：
，知
。
5．
。
6． 
。提示：因为a1,a1+2d,a1+8d成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a9+9d），所以a1=d,所以
。
7．
。提示：由定义有
(x-a)∽(x+a)<1
对
都成立，由
即得。
8．
。提示：显然直线经过定点
，又当
时，
，不经过第二象限，当
时，
要使直线不经过第二象限，只需
，综上。
9．
。提示：总共有1000个号码，抽到有两个相同偶数的情况可以分两类：一类是3个偶数，其中两个相同，如422，242，224，共有
；另一类是两个相同偶数，另一个是奇数，如500，050，005等，共有
，故
。（或
）
10．1．提示：令∠A=900，则O为BC的中点，H为A点，此时所给等式变为
。
另解：取BC的中点D，则
，且只有OD⊥BC，AH⊥BC，由
，
。
11．
；提示：
，两式相加整理得
，其中
。
12．
。提示：
。
二、选择题
13．B．提示
，
同理
另解：取A=B=C=600可得B。
14．C．提示：已知直线的倾斜角为300，旋转后的直线的倾斜角为600，其直线方程为
，圆心到直线的距离为
等于圆的半径。
15．B.提示：由题意，
，
于是
，所以
从而
，所以双曲线的方程为。
16．A．提示：两式平方相加得
，所以A+B=300或1500，若A+B=300，则
与
矛盾。所以C=300。
三、解答题
17．解：（1）
当
，即
时，
矛盾，所以
。
所以
， ------------------3分
由题意
------------------6分
（2）假设存在这样的x,使则
，------------------------9分
，方程组无解，所以这样的x不存在。 ---------------12分
18．解：（1）设DQ=y, 又AD=x,则
，
，----------------------------------------------------------------------3分
。-----------------------------------------------------6分
（2）
，--------------------------------------10分
当且仅当
，即
时，
元。----------12分
19．（1）因为为奇函数，所以
，所以
，--3分
所以
，
所以是函数的一条对称轴；-------------------------------------------------6分
（2）
，
所以是以4为周期的函数。------------------------------------------------10分
又时，。
当
，
当
所以时，的解析式为
----------14分
另解：在上的图象如下：
y
 |
- 1
∣ ∣ ∣
x
- -1
所以时，的解析式为
20．（1）因为，且。
所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8。
所以轨迹C以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的椭圆，方程为
-------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）为直线过点（0，3）。
若直线是y轴，则A、B是椭圆的顶点。
，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾。--------------------------------------------------------------------------9分
所以直线的斜率存在，设直线的方程为
由
，
由于
恒成立。
由韦达定理
---------------------------------11分
因为
，所以OAPB是平行四边形。
若存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，即
，
因为
所以
，-----------------------------------------------12分
所以
，
所以
机
，
故存在直线
，使得四边形OAPB为矩形。---------------14分
21．解：（1）猜想：
或
；--------------------------------4分
由知
，而
为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分
由知
，而
为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
（2）由为奇函数，有
所以
，又
，
解得
。-----------------------------------------------------------------------------10分
当
时，
为奇函数，由于在
上是增函数，所以
，由
，又在上是增函数，故有
，且
或
，故
。----------------------------------------------------------------------------12分
当
时，
为奇函数，由于在上是增函数，所以
，由
，又在上是增函数，故有
，且
或2，故
------------------------------------------------------------14分
所以所有符合题意的与的值为：
或--------------------------------------16分
22．(1)设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则
，-------------------------------------------4分
所以，第三层树形图的高度
。---------------------------5分
第三层树形图的高度
。-------------------------6分
（2）易知
，所以第n层树形图的高度为
，----------------------------------------------------------9分
所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为
；---10分
当为偶数数时，第n层树形图的高度为
。------------12分
（1） 不存在。
由（2）知，当为奇数时，
；-----------------------------------------------------------------------------------------------------15分
当为偶数数时，
，--------------17分
由定义，此树形图是永远是“矮小“的。所以不存在。使得当时，该树形图是“高大”的。------------------------------------------------------------------18分