导数部分
1、(广东卷)函数
是减函数的区间为(D)
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2.（全国卷Ⅰ）函数
，已知
在
时取得极值，则
=（B）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3. （湖北卷）在函数
的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D
）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．(江西)已知函数
的图象如右图所示(其中
是函数的导函数)，下面四个图象中
的图象大致是(C ）
5.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
(A)
(B)
(C) 
(D)1
6. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。
7.（江苏卷）（14）曲线
在点（1,3）处的切线方程是
8. ( 全国卷III)曲线
在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
9. （北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1, e)； ，切线的斜率为e ．
10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
轴仅有一个交点.
解：(I)=3
－2
－1
若=0，则==－
，=1
当变化时，，变化情况如下表：
|
| (－∞，－ | － | (－ | 1 | (1，+∞) |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
∴的极大值是
，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线
=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
当的极大值
<0，即
时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当的极小值－1>0即
(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。
11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 
-2ax ）
(1) 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
解：（I）对函数求导数得
令
得［+2(1－)－2］
=0从而+2(1－)－2=0
解得
当 变化时，、的变化如下表
|
| | | | | |
| | + | 0 | － | 0 | + |
|
| 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
∴在=
处取得极大值，在=
处取得极小值。
当≥0时，<－1,
在
上为减函数，在
上为增函数
而当
时=
，当x=0时，
所以当
时，取得最小值
（II）当≥0时，在
上为单调函数的充要条件是
即
，解得
于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分
则V=（90-2x）（48-2x）x,(0<V<24)5分
=4x3-276x2+4320x
∵V′=12 x2-552x+4320……7分
由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0,
10<x<36时，V′<0,
x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分
13. ( 全国卷III)已知函数
，
（Ⅰ）求
的单调区间和值域；
（Ⅱ）设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求的取值范围
解：对函数求导，得
令
解得 
或
当变化时，
、的变化情况如下表：
| x | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| ||
|
|
|
|
|
|
|
所以，当
时，是减函数；当
时，是增函数；
当
时，的值域为
（Ⅱ）对函数
求导，得
因此，当时， 
因此当时，为减函数，从而当时有
又
，
，即当
时有
任给
，
，存在使得，则
即
解
式得 或
解
式得 
又，
故：的取值范围为
14. （北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
15．（福建卷）已知函数
的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为
.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以
由在
处的切线方程是，知
故所求的解析式是 
（Ⅱ）
解得 
当
当
故
内是增函数，在
内是减函数，
在
内是增函数.
16．（福建卷）已知函数
的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
17. （湖北卷） 已知向量
在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使
在区间
（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
18．（湖南卷）设
，点P（
，0）是函数
的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数
在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（I）因为函数，
的图象都过点（，0），所以
，
即
.因为
所以
.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得
因此
故，
，
（II）解法一
.
当
时，函数单调递减.
由
，若
；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当
时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且
是（－1，3）
上的抛物线，
所以
即
解得
所以的取值范围为
19.（湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解：（I）
，
则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以
<0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.
综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.
（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.
即
，则
=
所以
设
则
①
令
则
因为
时，
，所以
在
）上单调递增. 故
则
. 这与①矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二：同证法一得
因为
，所以
令
，得
②
令
因为
，所以时，
故
在[1，+
上单调递增.从而
，即
于是在[1，+上单调递增.
故即
这与②矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
20．（辽宁卷）函数在区间（0，+∞）内可导，导函数
是减函数，且
设
是曲线在点（
）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用
、
、
表示m；
（Ⅱ）证明：当
；
（Ⅲ）若关于的不等式
上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
解：（Ⅰ）
…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当
；
当
.所以是
唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此
即
…………………………6分
（Ⅲ）解法一：
，
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意
成立的充要条件是
另一方面，由于
满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，
的充要条件是：过点（0，
）与曲线
相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是
的充要条件是
…………………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令
，于是
对任意成立的充要条件是
由
当
时
当
时，
，所以，当
时，
取最小值.因此
成立的充要条件是
，即
………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
21. （山东卷）已知
是函数
的一个极值点，其中
，
（I）求
与
的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当
时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
解(I)
因为是函数的一个极值点,所以
,即
，所以
（II）由（I）知，
=
当
时，有
，当变化时，与
的变化如下表：
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
| 调调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
故有上表知，当时，在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.
（III）由已知得
，即
又所以
即
①
设
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
解之得
又所以
即的取值范围为
22.(重庆卷)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aÎR。
(1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；
(2) 若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。
解：（Ⅰ）
因
取得极值， 所以
解得
经检验知当
为极值点.
（Ⅱ）令
当
和
上为增函数，故当
上为增函数.
当
上为增函数，从而
上也为增函数.
综上所述，当
上为增函数.
23. (重庆卷)已知aÎR，讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。
19．（本小题13分）
解：
令=0得
（1）当
即<0或>4时
有两个不同的实根，，不妨设<
于是
，从而有下表
| x |
| x1 |
|
|
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
| ↑ |
| ↓ |
| ↑ |
为极大值
为极小值即此时有两个极值点.
（2）当△=0即=0或=4时，方程
有两个相同的实根
于是
故当<时>0，当>时>0，因此无极值
（3）当△<0即0<<4时
，故为增函数，此时无极值. 因此当
无极值点.
24.（江苏卷）已知
函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解：（1）当a=2时,
，则方程f(x)=x即为
|
|
解方程得：
（2）（I）当a>0时,
，
作出其草图见右, 易知有两个极值点
借助于图像可知
当
时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时
当
时,显然此时函数的最小值为
当
时，
，此时在区间
为增函数，在区间
上为减函数，∴
，又可得
∴
则当
时，
，此时
|
|
当
时，
，此时
当
时，
,此时在区间
为增函数，故
(II)当
时，
，此时在区间也为增函数，故
（III）当
时，其草图见右
显然函数在区间为增函数，故