新教材高考数学模拟题精编详解第四套试题
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | ||||||||
| 1～12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||
| 分数 | ||||||||||||
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．满足条件
M{0，1，2}的集合共有（ ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
2．（文）等差数列
中，若
，
，则前9项的和
等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
（理）复数
，
，则
的复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函数
的反函数图像是（ ）
A B
C D
4．已知函数
为奇函数，则
的一个取值为（ ）
A．0 B．
C．
D．
5．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）
A．
种 B．
种
C．
种 D．
种
6．函数
在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．5，-15 B．5，-4
C．-4，-15 D．5，-16
7．（文）已知
展开式的第7项为
，则实数x的值是（ ）
A．
B．-3 C．
D．4
（理）已知
展开式的第7项为，则
的值为（ ）
A．
B． C．
D．
8．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．给出下面四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；②“直线l垂直于平面
内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；④“直线∥平面
”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若0＜a＜1，且函数
，则下列各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如果直线y＝kx＋1与圆
交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组：
表示的平面区域的面积是（ ）
A． B．
C．1 D．2
12．九0年度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于11级分？选出最接近的数目（ ）
A．4000人 B．10000人
C．15000人 D．20000人
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 得分 |
| 答案 |
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．已知：
＝2，
＝
，
与
的夹角为45°，要使
与垂直，则
__________．
14．若圆锥曲线
的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．
15．定义符号函数
，则不等式：
的解集是__________．
16．若数列，
是等差数列，则有数列
也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列
是等比数列，且
，则有
__________也是等比数列．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率．
18．（12分）已知：
（
R，a为常数）．
（1）若
，求f（x）的最小正周期；
（2）若
，
时，f（x）的最大值为4，求a的值．
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．
19甲．（12分）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，
，
．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
19乙．（12分）如图，三棱柱
的底面是边长为a的正三角形，侧面
是菱形且垂直于底面，∠
＝60°，M是
的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角
的正切值；
（3）求三棱锥
的体积．
20．（12分）已知函数f（x）的图像与函数
的图像关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若
，且
在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（理）若
，且在区间（0，
上为减函数，求实数a的取值范围．
21．（12分）假设A型进口车关税税率在2002年是100％，在2007年是25％，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8％（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？
22．（14分）如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝
，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．
（理）若点E满足
，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且
，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
参考答案
1．B 2．（文）B （理）D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．（文）A （理）D
8．D 9．B 10．D 11．A 12．B 13．2
14．（0，
） 15．
16．
17．解析：恰有3个红球的概率
有4个红球的概率
至少有3个红球的概率
18．解析：∵ 
（1）最小正周期 
（2）
，
∴ 
时 
，∴ 
， ∴ a＝1．
19．解析：（甲）（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系
（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）设P（0，0，2m）
（1，1，m）， ∴ 
（-1，1，m），
＝（0，0，2m）
∴ ，
，
∴ 点E坐标是（1，1，1）
（2）∵ 
平面PAD， ∴ 可设F（x，0，z）
＝（x-1，-1，z-1）
∵ EF⊥平面PCB ∴ 
，-1，
2，0，
∵ 
∴ ，-1，
0，2，-2
∴ 点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．
（乙）（1）证明：∵ 是菱形，∠＝60°
△
是正三角形
又∵ 
（2）
∴ ∠BEM为所求二面角的平面角
△
中，
60°
，Rt△
中，
60°
∴ 
， ∴ 所求二面角的正切值是2；
（3）
．
20．解析：（1）设f（x）图像上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图像上
∴ 
， ∴ 
，即 
（2）（文）：
，即
在（0，上递减
， ∴ a≤-4
（理）：
， ∵ 
在（0，上递减，
∴ 
在
（0，时恒成立．
即 
在（0，时恒成立． ∵ （0，时，
∴
．
21．解析：（1）2007年A型车价为32＋32×25％＝40（万元）
设B型车每年下降d万元，2002，2003……2007年B型车价格为：（公差为-d）
，
……
∴ ≤40×90％ ∴ 46-5d≤36 d≥2
故每年至少下降2万元
（2）2007年到期时共有钱
＞33（1＋0.09＋0.00324＋……）＝36.07692＞36（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车
22．解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）
设椭圆方程为：
令
∴
∴ 椭圆C的方程是：
（2）（文）l⊥AB时不符合，
∴ 设l：
设M（
，
），N（
，
）
，
∵ 
∴ 
，即
，
∴ l：
，即
经验证：l与椭圆相交，
∴ 存在，l与AB的夹角是
．
（理）
，
，l⊥AB时不符，
设l：y＝kx＋m（k≠0）
由 
M、N存在D
设M（，），N（，），MN的中点F（
，
）
∴ 
，
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
且
∴ l与AB的夹角的范围是
，
．