2006年高考模拟测试数学6
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
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（1）化简
得 （ ）
（A）
（B）
（C）1 （D）－1
（2）双曲线
的一个焦点是（0，－3），则k的值是 （ ）
（A）1 （B）－1 （C）
（D）－
（3）已知
过点（3，5），g（x）与f（x）关于直线x=2对称，则y=g（x）必过
点 （ ）
（A）（－1，3） （B）（5，3） （C）（－1，1） （D）（1，5）
（4）已知复数
，则
（ ）
（A）
（B）－ （C）
（D）
（5）（理）曲线
上有且仅有三点到直线
的距离为1，则r属于集合 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）{9}
（文）已知两条直线
，其中a为实数，当这两条直线的夹角
在
内变动时，a的取值范围是 （ ）
（A）（0，1） （B）
（C）
（D）
6．半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ）
（A）4cm （B）2cm （C）
（D）
7．（理）
的值等于 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）函数
的最小正周期为 （ ）
（A） （B）
（C）
（D）2
8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为 （ ）
①
②
③
④
其中正确的结论为 （ ）
（A）仅有① （B）有②和③ （C）仅有② （D）仅有③
9．正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为
E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成
的角为 （ ）
（A）
（B） （C）
（D）
10．给出四个函数，分别满足①
②
③
④
又给出四个函数的图象
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则正确的配匹方案是 （ ）
（A）①—M ②—N ③—P ④—Q （B）①—N ②—P ③—M ④—Q
（C）①—P ②—M ③—N ④—Q （D）①—Q ②—M ③—N ④—P
11．P是双曲线
左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距
为2c，则
的内切圆的圆心横坐标为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12．某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面
值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到
期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为 （ ）
（A）乙，甲，丙 （B）甲、丙、乙 （C）甲、乙、丙 （D）丙、甲、乙
第Ⅱ卷 (非选择题)
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13．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1，2，3，则这个球的表面积是 ．
14．若
展开式中的x3项的系数为20，则非零实数a=
．
15．△ABC顶点在以x轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A（－6，8），且△ABC
的重心在原点，则过B、C两点的直线方程为 ．
16．设正数数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于所有的自然数n，有
成立，若
，则t的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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设复数
且
．
求
的值．
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18．（理）（本题满分共12分）
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a，M为
棱A1C1上的动点．
（Ⅰ）当M在何处时，BC1//平面MB1A，并证明之；
（Ⅱ）在（I）下，求平面MB1A与平面ABC所成的二
面角的大小；
（Ⅲ）求B—AB1M体积的最大值．
18．（文）（图同理18，本题满分12分）
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a，M为
棱A1C1的中点
（Ⅰ）求证BC1//平面MB1A；
（Ⅱ）求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的正切值；
（Ⅲ）求B—AMB1的体积．
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设常数
不等式
的解集为M
（Ⅰ）当ab=1时，求解集M；
（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a，b应满足的关系．
19．（文）（本题满分12分）
已知函数
（其中a＞0，且a≠1），解关于x的不等式
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20．（本题满分12分）
一家企业生产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：
3－x与t+1（t≥0）成反比例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年生产该产品的固定投资为3万元，每生产1万件该产品需再投资32万元，当该产品的售价g（x）满足
时，则当年的产销量相等．
（Ⅰ）将2001年的利润y表示为促销费t万元的函数；
（Ⅱ）该企业2001年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=收入－生产成本－促销费）
21．（本题满分12分）
A、B是两个定点，且AB=8，动点M到A点的距离
是10，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB
所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．
（Ⅰ）试求P点的轨迹c的方程；
（Ⅱ）直线
与点P所在
曲线c交于弦EF，当m变化时，试求△AEF的面积的最大值．
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22．（本题满分14分）
已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，
且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（Ⅰ）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）对数列
求
；
（Ⅲ）（理）求证
（文）求证
高考模拟测试6
数学试题参考答案
一、选择题（理）CBACD DCBCD AB
（文）CBACD DCBCD AB
二、填空题
（13）14π （14）5 （15）
（16）
三、解答题
17．解：
（2分）
即
即
即
（6分）
（8分）
即
（12分）
18．（理）解：（I）当M在A1C1中点时，BC1//平面MB1A
∵M为A1C1中点，延长AM、CC1，使AM与CC1延
长线交于N，则NC1=C1C=a
连结NB1并延长与CB延长线交于G，
则BG=CB，NB1=B1G （2分）
在△CGN中，BC1为中位线，BC1//GN
又GN
平面MAB1，∴BC1//平面MAB1 （4分）
（II）∵△AGC中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90°
即AC⊥AG 又AG⊥AA1 
（6分）
∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角
∴所求二面角为
（8分）
（Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM．
即B—AB1M体积最大值为
此时M点与C1重合． （12分）
18．（文）（Ⅰ）同（理）解答，见上
（Ⅱ）同理科解答：设所求二面角为θ，则
（Ⅲ）
19．（理）解：（I）首先
即
即
（3分）
得
解得
（舍去）或
（6分）
（II）令
，先证
时为单调递增函数
得证 （8分）
欲使解集为（1，+∞），只须f（1）=1即可，即a－b=1，∴a=b+1 （12分）
19．（文）解：
可知0＜a＜1 （4分）
∴不等式
（8分）
∴原不等式的解集为{x0＜x＜1} （12分 ）
20．解：（I）由题意得
（2分）
从而生产成本为
万元，年收入为
（4分）
（6分）
∴年利润为y
（8分）
（II）y
（万元）
当且仅当
（12分）
∴当促销费定为7万元时，利润最大．
21．解（I）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，则A（－4，0），B（4，0）
PA+PB=PA+PM=10 （2分）
∴2a=10 2c=8 ∴a=5，c=4
∴P点轨迹为椭圆
（4分）
（II）
过椭圆右焦点B（4，0）
整理得
（6分）
*（8分）
∵m为直线的斜率，∴可令m=tgθ代入*得
当且仅当
即
时，
（12分）
22．证：（I）令
则
令
则
为奇函数 （4分）
（II）
， 
是以－1为首项，2为公比的等比数列．
（4分）
（III）（理）
而
（6分）
（III）（文）
