高考数学中档题强化训练（4)－（6)

高考数学中档题精选（4）

1．（本小题满分12分）

已知函数是常数），

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若的最大值为1，求a的值.

解：（Ⅰ）……2分

　　　　　　　　　 ………………………………………4分

∴f(x)的最小正周期为2π　…………………………………6分

　　　  （Ⅱ）………………………………8分

∴f(x)的最大值为2+a…………………………………………………………10分

∴2+a=1　　　∴a=－1………………………………………………………12分

2．（本小题满分12分）

　　 数列{a_n} 的前n项和,其中a,b是常数.

　　 （Ⅰ）若{a_n}是等比数列，求a,b应满足的条件？

　　 （Ⅱ）当{a_n}是等比数列时，求的值.

2．解：（理）（Ⅰ）由已知………………………………………………2分

由…………4分

∴当a≠0时，{a_n} 从第二项起成等比数列.

若{a_n}是等比数列，则首项为a，公比为2.　

 ∴2a+b=a　　　 ∴a+b=0……………………………………………………6分

∴若{a_n}为等比数列，a、b应满足的条件是a+b=0，且a、b均不为零.…8分

　　　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）…………………………10分

…………………12分

3．（本小题满分12分）

　　 长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E

是侧棱BB₁中点.

（Ⅰ）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；

（Ⅱ）求二面角E—AD₁—A₁的大小；

（Ⅲ）求三棱锥A—C₁D₁E的体积.

解：（Ⅰ）已知几何体为长方体

∴A₁D₁⊥平面ABB₁A₁

∴A₁D₁⊥AE………………………………2分

又AB＝１，BB₁=2，E为BB₁的中点

∴△ABE为等腰直角三角形

∴AE=同理A₁E=

∴∠AEA₁为直角　即AE⊥A₁E

∴AE⊥平面A₁D₁E………………………………4分

（Ⅱ）取AA₁中点O，连OE，则EO⊥A₁A、EO⊥A₁D_1、

∴EO⊥平面ADD₁A₁…………………………………………5分

 过O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F 连结EF，则AD₁⊥EF

∴∠EFO为二面角E—AD₁—A₁的平面角……………………7分

即二面角………………………………9分

（Ⅲ）由于AB∥C₁D₁　　　∴AB∥平面C₁D₁E

 …………………12分

高考数学中档题精选（5）

1．（12分）设a，b，c分别为△ABC的边BC，CA，AB的长，且（m为常数）.若，求m的值.

解： 由

　　 （6分）

　　 由正弦定理得（8分）从而由余弦定理及得

　　 （12分）

2．（12分）已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且且.

（1）求证：为等差数列；

（2）求：的值；

（3）求满足a_n＞a_n－1的自然数n的集合.

解：（1）由（2分）

当n≥2时成等差数列 （3分）

又∵当n=1时，而n=1时，（4分） 故当n≥1时，成等

差数列 （5分） （2）（8分）

（3）当n≥3时，（9分）

 ∴满足题设的n集合为{3、4、5、7}（12分）

3．（本小题满分12分）.

　　 如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为，A₁C₁的中点为D.

　　 （Ⅰ）求证BC₁∥平面AB₁D；

　　 （Ⅱ）求二面角A₁—B₁D—A的大小；

　　 （Ⅲ）求点B到平面的AB₁D的距离.

解：（Ⅰ）连结A₁B，设A₁B与AB₁相交于点O，则O为A₁B的中点.

　　　　 连结DO，因为D为A₁C₁中点，所以DO为△A₁BC₁的中位线，

所以DO∥BC₁.

又DO平面AB₁D，BC₁平面AB₁D

所以BC₁∥平面AB₁D.　　　　  ……4分

　　 （Ⅱ）由题意知B₁D是正△A₁B₁C₁的中线，

所以A₁C₁⊥B₁D.

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁

所以AD⊥B₁D，

所以∠ADA₁是二面角A₁—B₁D—A的平面角……6分

在Rt△ADA₁中，

所以∠ADA₁=60°，即二面角A₁—B₁D—A等于60°.　　　　　　　　　　　……8分

（Ⅱ）因为O为A₁B中点，所以点B到平面AB₁D的距离等于点A₁到平面AB₁D的距

离.由（Ⅱ）可知B₁D⊥平面A₁ACC₁，

所以平面AB₁D⊥平面A₁ACC₁，且平面AB₁D∩平面A₁ACC₁=AD.

过点A₁作A₁H⊥AD，垂足为H，则A₁H⊥平面AB₁D.

所以线段A₁H的长度就是点A₁到平面AB₁D的距离.　　　　　　　　　　　　 ……11分

在Rt△A₁AD中，

所以点B到平面AB₁D的距离等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……12分

或设点B到平面AB₁D的距离为h，因为

所以　　　　　　……12分

高考数学中档题精选（6）

1.已知函数.

　 （1）求函数的最小正周期；

　 （2）求函数的最大值及最小值；

　 （3）写出函数的单调递增区间.

解：(1)

　 的最小正周期.

　 （2）当时，f（x）取得最大值2；

　　　　当时，f（x）取得最小值－2.

　 （3）f（x）的单调递增区间为.

2.有两个各项都是正数的数列{a_n},{b_n},若对于任意自然数n都有a_n、b_n²、 a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列，

　  ①求证：数列{b­_n}是等差数列；

②如果a₁=1,b₁=，记数列{}的前n项和为S_n，求.

①证明：依题意：a_n+a_n+1=2b_n²　 b_n²b_n+1²=a_n+1²　　又 a_n>0 ,b_n>0

∴b_n－1b_n+b_nb_n+1=2b_n²　∴b_n－1＋b_n+1=2b_n　即{b_n}是等差数列。

②解：由a₁=1,b₁=得a₂=2×2－1=3, b₂= ,∴b_n= += ∴a_n=b_nb_n－1＝

.

3.在立方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，

CC₁，D₁A₁，BB₁的中点.

　 （1）证明：FH∥平面A₁EG；

　 （2）若AB=a，求三棱锥A₁—EFG的体积；　　　　　 　 

　 （3）证明B₁D⊥平面EFG.

19．（理）（1）证明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G.又A₁G平面A₁EG，FH平面A₁EG，

∴FH∥平面A₁EG.

（2）解：连结HA₁，HE，HG，∵FH∥平面A₁EG，∴ .

　　（3）设BC的中点为M，连结EM，FM，AC，BD. ∴AC⊥BD，由三垂线定理，得AC⊥B₁D，

又EM∥AC. ∴EM⊥B₁D.同理FM⊥BD₁，又EM与FM相交，∴B₁D⊥平面EFM，B₁D⊥EF.同理

B₁D⊥FG，又EF与FG相交，∴B₁D⊥平面EFG.

另证：∵EB₁=ED，∴E在B₁D的中垂面上，同理，F，G均在B₁D的中垂面上，∴B₁D⊥平面EFG