08届高考数学第一次模拟考试试题
（命题人 杨帆）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试用时120分钟。
☆祝你考试顺利☆
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷上。
1．（理）复数
＝
（A）0 （B）
（C）1 （D）
（文）若集合A＝｛x∣2｝，B＝｛x∣x2－3x＝0｝，则集合AB＝
（A）｛3｝ （B）｛0｝ （C）｛0，2｝ （D）｛0，3｝
2．函数 y＝（x0）的反函数是
（A）y＝（x） （B）y＝－（x）
（C）y＝（x0） （D）y＝－（x0）
3．sin15°cos165°的值是
（A）
（B）
（C）－
（D）－
4．椭圆与双曲线 －y2＝1有共同的焦点，一条准线的方程是x＝3，则此椭圆的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．函数
的图像如左图：则函数
的图像可能是
 |  | ||
6．已知直线l平面α，直线m平面β，有如下四个命题：
①若αβ，则lm； ② 若α β，则lm；
③ 若lm，则αβ；④ 若lm，则αβ．其中正确的两个命题是
（A）①与② （B）①与③ （C）②与④ （D）③与④
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19的值是
（A）55 （B）95 （C）100 （D）190
8．定义运算
=
. 将函数
的图像向左平移φ（φ＞0）个单位,所得图像对应的函数为偶函数，则φ的最小值为
（A）
（B）
（C）
（D）
9．已知向量
平行，则x等于
（A）－6 （B）6 （C）－4 （D）4
10．（理）设
是随机变量,且
,则
等于 ( )
（A） 0.4 （B） 4 （C） 40 （D） 400
（文）函数
的值域是
(A)R (B)［8，＋
(C)（－∞，－3
(D)［－3，＋∞
11. 如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为“凹数”，那么所有“凹数”的个数是
(A)240 (B)285 (C)729 (D)920
12、与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是
（A）（1，0） （B）（
，0） （C）（－1，0）
（D）（0，
）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸题中的横线上．
13．W国参加2008奥运会有男运动员56人，女运动员42人．比赛后立即用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查．女运动员应分别抽取 人。
14．在条件 下，函数z＝－2x＋y 的最大值是 。
15．若
的展开式的第四项是常数项，则为
＝
。
16．（理）设函数
，则
是
的导数，则
＝_______。
（文）已知正方体的表面积为18，则正方体的外接球的体积等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
乌鲁木齐市高级中学的成功同学到甲、乙、丙三所高校参加自主招生考试，各高校是否录取他相互独立。成功同学被甲、乙、丙三所高校录取的概率分别为
。（假设允许成功同学可以被多所高校同时录取）
（Ⅰ）求成功同学没有被录取的概率；
（Ⅱ）（理）求录取成功同学的高校数ξ的分布列和数学期望。
（文）成功同学被几个高校同时录取的可能性最大？
18．（本小题满分12分）
在锐角ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为ABC的面积，且满足条件: 2sinB [
1＋cos（
－B）] ＋cos2B＝1＋．
（Ⅰ）求B的度数；
（Ⅱ）若a＝4，S＝5，求c和b的值。
19．（本小题满分12分）
如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2, PA=
（Ⅰ）求证：PA⊥B1D1；
（Ⅱ）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的大小；
（Ⅲ）求B1到平面PAD的距离。
20．（本小题满分12分）
如图，设
、
分别为椭圆
：
(
)的左、右焦点.设椭圆C上的点
到F1、F2两点距离之和等于4。
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）若P（x，y）是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值。
21．（本小题满分12分）
两个二次函数
与
的图像有唯一的公共点
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）（理）设
，若
在
上是单调函数，求
的范围。并说明函数是R上的单调递增函数还是单调递减函数。
（文）设
，求在x∈[－1,2]上的最大值和最小值。
22．（本小题满分12分）
已知
（Ⅰ）求
的表达式；
（Ⅱ）定义正数数列
，证明：数列
是等比数列；
| |
。
(文) 令
成立的最小n值。
参考答案
一、选择题（批改 叶素英）
1．C(文B) 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10. A（文C） 11.B 12.C
二、填空题（批改 叶素英）
13. 12 14. 2 15. 21 16. （理）－3 （文）
三、解答题
17（批改 林强）解：（Ⅰ）设成功同学没有被录取的概率为P0，则P0=
.
.
=
…4分
(Ⅱ) （文）设成功同学恰被一个高校录取的概率为P1
P1=
＋
＋
＝
……6分
设成功同学恰被两个高校录取的概率为P2
P2=×
×+
××+××=
……8分
设成功同学恰被三个高校录取的概率为P3
P3=
＝ ……9分
∴成功同学恰被两个高校录取的可能性最大。……10分
(Ⅱ)（理）ξ可能取的值为0，1，2，3
P(ξ＝0)＝
，P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝2)＝1－－－＝，……7分
ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p |
|
|
|
|
………8分
Eξ=1×＋2×＋3×＝
………10分
18（批改 林强）解：（Ⅰ）由已知得：2sinB·（1＋sinB）＋1－2sin2B＝1＋，………2分
化简整理，得：2sinB＝，sinB＝，………3分
∵三角形ABC是锐角三角形 ∴ B＝60°………5分
（Ⅱ）∵ a＝4，S＝5，∴S＝ acsinB＝5，∴ c＝5；………8分
由b2＝42＋52－2·4·5·cos60°＝21，得b＝；………12分
19. （批改 杨帆）
解：以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系 （其他建系亦可）…2分
（Ⅰ）设E是BD的中点，
P—ABCD是正四棱锥，∴
又
， ∴
∴
………4分
∴ 
∴ 
即
…6分
（Ⅱ）设平面PAD的法向量是
， 
∴ 
取
得
， ………8分
又平面
的法向量是
∴ 
∴
…10分
（Ⅲ）
∴
到平面PAD的距离
………12分
（其他解法酌情给分）
20. （批改唐惠玲）
（Ⅰ）
，
. 
，
.…分
椭圆的方程为
，………4分 因为
. 所以离心率
.………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知
…………8分
∵P（x，y），则
（*）
＝
………………10分
，
∴
，即点P为椭圆短轴端点时，
有最小值2；
当
，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值3 ……12分
（Ⅱ）法二：还可以从（*）处用三角代换法求解
∵ ∴x＝2sinθ，y＝
cosθ
＝4sin2θ＋3cos2θ－1＝sin2θ＋2………10分
∴sin2θ＝0，即x＝0时，有最小值2
sin2θ＝1，即时，有最大值3。………………12分
21. （批改 杨华）解：（Ⅰ）由已知得 
化简得 
……………2分
且
即
有唯一解 …3分
所以
即 
……5分
消去
得 
，解得
…………6分
（Ⅱ）（理）
，
∴
……7分
………8分
若在上为单调函数，则
在上恒有
或
成立。……9分
因为的图象是开口向下的抛物线，所以时在上为减函数，10分
所以
，解得 
即时，在上为减函数。 12分
或
恒成立，
＝2 即时，在上为减函数。 12分
（Ⅱ）（文）由（Ⅰ），
∴
∴
∴
| x | －1 | （－1， 1） | 1 | （1，2） | 2 | |
|
|
| 0 |
| |||
|
| 16 | 递减 | 0 | 递增 | －2 |
令
＝0，则x＝1
列表如右
∴
的最大值为16，最小值为0。
22. （批改 朱永红）
解：（Ⅰ）
为奇函数
则
∴
…2分 
又
………4分
（Ⅱ）
（常数）
∴数列是以2为首项，
………8分
（Ⅲ）（理）
∴ b1＝2，
公比q＝
………10分
∴ 
＝
＝4 ………12分
（文）
∴b1＝2，公比q＝
………10分
又
∴满足
………12分