2004年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，则集合
= （ ）
A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}
2．函数
的反函数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．过点（－1，3）且垂直于直线
的直线方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．
= （ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．等差数列
中，
，则此数列前20项和等于
（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220
7．对于直线m、n和平面
，下面命题中的真命题是 （ ）
A．如果
、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么
相交
C．如果
、n共面，那么
D．如果
、n共面，那么
8．已知椭圆的中心在原点，离心率
，且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合，
则此椭圆方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），
要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210种 B．420种 C．630种 D．840种
10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=
，则球心
到平面ABC的距离为 （ ）
A．1 B．
C．
D．2
11．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，
∠B=30°，△ABC的面积为
，那么b= （ ）
A．
B．
C．
D．
12．设函数
为奇函数，
则
（ ）
A．0 B．1 C．
D．5
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．
展开式中
的系数为
.
14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且a=2，b=4，则a与b夹角的余弦值等于
.
15．函数
的最大值等于 .
16．设
满足约束条件：
则
的最大值是
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知α为第二象限角，且 sinα=
求
的值.
18．（本小题满分12分）
求函数
在[0，2]上的最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分
的概率分布和数学期望；
（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.
20．（本小题满分12分）
|
，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
21．（本小题满分12分）
双曲线
的焦点距为2c，直线
过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和
求双曲线的离心率e的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数
的所有正数
从小到大排成数列
（Ⅰ）证明数列{
}为等比数列；
（Ⅱ）记
是数列{
}的前n项和，求
2004年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题
1—12 D C A D A B C A B A B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．28 14．
15．
16．2
三、解答题
17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等
基础知识和基本技能.满分12分.
解：
当为第二象限角，且
时
，
所以=
18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小
值以及综合运算能力.满分12分.
解：
令 
化简为
解得
当
单调增加；
当
单调减少.
所以
为函数
的极大值.
又因为 
所以 
为函数在[0，2]上的最小值，为函数
在[0，2]上的最大值.
19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解
决实际问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）的可能值为－300，－100，100，300.
P（=－300）=0.23=0.008,
P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,
P（=100）=3×0.2×0.82=0.384,
P（=300）=0.83=0.512,
所以的概率分布为
|
| －300 | －100 | 100 | 300 |
| P | 0.008 | 0.096 | 0.384 | 0.512 |
根据的概率分布，可得的期望
E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.
（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）=0.384+0.512=0.896.
20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析
|
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为
所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，
|
，AB=8，
得
所以 Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.
解：直线的方程为
，即 
由点到直线的距离公式，且
，得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由
即 
于是得 
解不等式，得 
由于
所以
的取值范围是
22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以
及综合运用的能力.满分14分.
（Ⅰ）证明：
由
得
解出
为整数，从而
所以数列
是公比
的等比数列，且首项
（Ⅱ）解：
从而
因为
，所以
