2004年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
（ ）
A．{
} B．{
}
C．{
} D． {
}
2．
（ ）A．
B．1 C．
D．
3．设复数
= （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆C与圆
关于直线
对称，则圆C的方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的图象过点
，则
可以是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的图象 （ ）
A．与
的图象关于y轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称
C．与
的图象关于
轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称
7．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
，则
球心O到平面ABC的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．已知平面上直线l的方向向量e=
点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O′和A′，则
e，其中
= （ ）
A．
B．
C．2 D．－2
10．函数
在下面哪个区间内是增函数 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．函数
的最小正周期为 （ ）
A．
B． C．
D．2
12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521
的数共有 （ ）
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
|
14．设
满足约束条件：
则
的最大值是
.
15．设中心在原点的椭圆与双曲线
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是
.
16．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
18．（本小题满分12分）
已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.
求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
19．（本小题满分12分）
数列
的前n项和记为Sn，已知
证明：
（Ⅰ）数列
是等比数列；
（Ⅱ）
20．（本小题满分12分）
|
，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
21．（本小题满分12分）
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
与
的夹角的大小；
（Ⅱ）设
，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案（理）（选修Ⅱ）
1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C
13．0.1，0.6，0.3 14．5 15．
16．②④
17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.
本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，
满分12分.
（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解：
，
即
，将代入上式并整理得
解得
，舍去负值得
，
设AB边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+
. 所以AB边上的高等于2+.
18．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用
数学知识解决问题的能力，满分12分.
（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为
故有一组恰有两支弱队的概率为
解法二：有一组恰有两支弱队的概率
（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 
解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为
19．本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。
证明：（Ⅰ）∵
∴ 
整理得 
所以 
故是以2为公比 的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是 
又 
故 
因此对于任意正整数 
都有
20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
|
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=
又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，
∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=
，DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.
∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形.
于是B1G⊥BD，B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角，
又 B1F2=B1B2+BF2=1+（
=
，
∴ 
|
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），
D（
，M（
，1，0），
则
∴CD⊥A1B，CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则
G（
），
、、），
所以所求的二面角等于
21．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分12分。
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
由②得
， ∵ 
∴
③
联立①、③解得
，依题意有
∴
又F（1，0），得直线l方程为
当
时，l在方程y轴上的截距为
由 
可知
在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
22．本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.
（Ⅰ）解：函数
的定义域为
.
令 
当
当
又
故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.
（Ⅱ）证法一：
由（Ⅰ）结论知
由题设 
因此 
所以 
又
综上 
证法二：
设
则 
当
在此
内为减函数.
当
上为增函数.
从而，当
有极小值
因此 
即 
设 
则 
当
因此
上为减函数.
因为 
即 