2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． i是虚数单位，
= （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
2． 不等式
的解集为 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
3．若平面向量
与向量
的夹角是
，且
，则
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
4． 设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
、F2分别是双曲线的左、右焦点，若
，则
（ ）
A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9
5．若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
6． 如图，在棱长为2的正方体
中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是
、AD的中点，那么异面直线OE和
所成的角的余弦值等于 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
7． 若
为圆
的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
8． 已知数列
，那么“对任意的
，点
都在直线
上”是“
为等差数列”的 （ ）
A． 必要而不充分条件 B． 充分而不必要条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
9． 函数
为增函数的区间是 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
10． 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，
。分别过BC、
的两个平行截面将长方
体分成三部分，其体积分别记为
，
，
.
若
，则截面
的面积为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 16
11． 函数
（
）的反函数是 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为 （ ）
A． 
B． C． 
D． 
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13． 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为
，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=
.
14． 如果过两点
和
的直线与抛物线
没有交点，那么实数a的取值范围是
.
15．若
，则
.（用数字作答）
16． 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个.（用数字作答）
三、 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知
，（1）求
的值；（2）求
的值.
18．（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量
表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数
”的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小.
20．（本小题满分12分）
已知函数
在
处取得极值.
（1）讨论
和
是函数的极大值还是极小值；
（2）过点
作曲线
的切线，求此切线方程.
21．（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
，其中a为常数，k为非零常数.
（1）令
，证明数列
是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）当
时，求
.
22．（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点F（c，0）（
）的准线
与x轴相交于点A，OF=2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
，求直线PQ的方程；
（3）设
（
），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
.
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．80 14． 
15． 2004 16．300
三、解答题：
17． 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分.
（1）解：
.
由，有
.
解得
.
（2）解法一：
.
解法二：由（1），，得
∴
.
∴
.
于是
，
.
代入得
.
18． 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
（1）解：可能取的值为0，1，2。
。
所以，的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
（2）解：由（1），的数学期望为
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
19． 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.
方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在
中，EO是中位线，∴PA // EO
而
平面EDB且
平面EDB，
所以，PA // 平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且
底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知
是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴
. ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而
平面PDC，∴
. ②
由①和②推得
平面PBC.
而
平面PBC，∴
又
且
，所以PB⊥平面EFD.
（3）解：由（2）知，
，故
是二面角C—PB—D的平面角.
由（2）知，
.
设正方形ABCD的边长为a，则
,
， 
.
在
中，
。
在
中，
，∴
.
所以，二面角C—PB—D的大小为
.
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设
.
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.
依题意得
.
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为
且
.
∴
，这表明PA//EG.
而
平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.
（2）证明；依题意得
，
。又
，故
.
∴
.
由已知，且
，所以
平面EFD.
（3）解：设点F的坐标为
，
，则
.
从而
.所以
.
由条件知，
，即
，解得
∴点F的坐标为
，且
，
∴
即
，故是二面角C—PB—D的平面角.
∵
，且
，
，
∴
.
∴.
所以，二面角C—PB—D的大小为.
20． 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.
（1）解：
，依题意，
，即
解得
. ∴
.
令
，得
.
若
，则
，故
在
上是增函数，
在
上是增函数.
若
，则
，故
在
上是减函数.
所以，
是极大值；
是极小值.
（2）解：曲线方程为
，点不在曲线上.
设切点为
，则点M的坐标满足
.
因
，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得
，解得
.
所以，切点为
，切线方程为
.
21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
（1）证明：由
，可得
.
由数学归纳法可证
.
由题设条件，当
时
因此，数列是一个公比为k的等比数列.
（2）解：由（1）知，
当
时，
当
时，
.
而
所以，当时
.
上式对
也成立。所以，数列的通项公式为
当时
.
上式对也成立，所以，数列的通项公式为
，
（2）解：当时
22． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为
.
由已知得
解得
所以椭圆的方程为
，离心率
.
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为
.由方程组
得
依题意
，得
.
设
，则
， ① 
. ②
由直线PQ的方程得
.于是
. ③
∵，∴
. ④
由①②③④得
，从而
.
所以直线PQ的方程为
或
（2）证明：
.由已知得方程组
注意，解得
因
，故
.
而
，所以
.