2008年高考数学试题分类汇编
圆锥曲线
一． 选择题：
1.（福建卷11)又曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为B
A.(1,3) B.
C.(3,+
) D.
2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）
A. （
，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
3.(湖北卷
10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
轨进入以月球球心
为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用
和
分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①
; ②
;
③
; ④
＜
.
其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4.（湖南卷8）若双曲线
（a＞0,b＞0）上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.
(5,+)
5.（江西卷
7）已知
、
是椭圆的两个焦点，满足
的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C
A．
B．
C．
D．
6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线
上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（
A ）
A．
B．
C．
D．
7.（全国二9）设
，则双曲线
的离心率
的取值范围是（ B
）
A．
B．
C．
D．
8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为
，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A
（A）
(B)
(C)
(D)
9.（陕西卷8）双曲线（
，
）的左、右焦点分别是
，过作倾斜角为
的直线交双曲线右支于点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．
B．
C．
D．
10.（四川卷12）已知抛物线
的焦点为，准线与轴的交点为
，点
在
上且
，则
的面积为( B )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
11.（天津卷（7）设椭圆
（
，
）的右焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为
，则此椭圆的方程为B
（A）
（B）
（C）
（D）
12.（浙江卷7）若双曲线
的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D
（A）3 （B）5
（C）
（D）
13.（浙江卷10）如图，AB是平面
的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B
（A）圆 （B）椭圆
（C）一条直线 （D）两条平行直线
14.（重庆卷(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=
,则双曲线方程为C
（A）
－
=1 (B)
(C)
(D)
二． 填空题：
1.（海南卷14）过双曲线
的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______
2.（湖南卷12）已知椭圆
（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为
,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM
,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆
1( 
0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点
作圆的两切线互相垂直，则离心率=
．
4.（江西卷15）过抛物线
的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、
两点（在
轴左侧），则
．
5.（全国一14）已知抛物线
的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2
6.（全国一15）在
中，
，
．若以
为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率
．
7.（全国二15）已知是抛物线
的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设
，则
与
的比值等于 ．
8.（浙江卷12）已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于A、B两点若
，则
=______________。8
三． 解答题：
1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）
设椭圆
过点
，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线与椭圆相交与两不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点总在某定直线上
解 (1)由题意：
，解得
，所求椭圆方程为 
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为
。
由题设知
均不为零，记
,则
且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是
， 
， 
从而
，
（1） 
，（2）
又点A、B在椭圆C上，即
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点
总在定直线
上
方法二
设点
，由题设，
均不为零。
且 
又 
四点共线，可设
,于是
（1）
（2）
由于
在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 得 
即点总在定直线上
2.（北京卷19）．（本小题共14分）
已知菱形
的顶点
在椭圆
上，对角线
所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点
时，求直线
的方程；
（Ⅱ）当
时，求菱形面积的最大值．
解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为
．
因为四边形为菱形，所以
．
于是可设直线的方程为
．
由
得
．
因为在椭圆上，
所以
，解得
．
设两点坐标分别为
，
则
，
，
，
．
所以
．
所以的中点坐标为
．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以
，解得
．
所以直线的方程为
，即
．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以
．
所以菱形的面积
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以当
时，菱形的面积取得最大值
．
3.（福建卷21）（本小题满分12分）
如图、椭圆
的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有
,求a的取值范围.
本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，
所以
,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有
，所以
AOB恒为钝角.
即
恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m
R恒成立，
即a2b2m2>
a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>
或a<
(舍去)，即a>,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
x=1代入
=1.
因为恒有OA2+OB2<AB2,2(1+yA2)<4
yA2, yA2>1，即
>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因为恒有OA2+OB2<AB2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2)
.
由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；
②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;
③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>
或a2>
（舍去），a>，因此a
.
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.
4.（广东卷18）．（本小题满分14分）
设，椭圆方程为
，抛物线方程为
．如图4所示，过点
作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【解析】（1）由得
，
当
得
，
G点的坐标为
，
，
，过点G的切线方程为
即
，令
得
，
点的坐标为
，由椭圆方程得点的坐标为
，
即
，即椭圆和抛物线的方程分别为
和
；
（2）
过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以
为直角的
只有一个，
同理 以
为直角的只有一个。
若以
为直角，设点坐标为
，、两点的坐标分别为
和
，
。
关于
的二次方程有一大于零的解，
有两解，
即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得
为直角三角形。
5.(湖北卷19).（本小题满分13分）
如图，在以点
为圆心，
为直径的半圆
中，
，是半圆弧上一点，
，曲线是满足
为定值的动点的轨迹，且曲线过点.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点
的直线l与曲线相交于不同的两点
、.
若△
的面积不小于
，求直线斜率的取值范围.
本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（
），依题意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝
＜｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，2a＝2
，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为
.
解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为
＞0，b＞0）.
则由
解得a2=b2=2,
∴曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ 
∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=
,于是
｜EF｜＝
＝
而原点O到直线l的距离d＝
，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即S△OEF
，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
｜x1-x2｜=
③
当E、F在同一去上时（如图1所示），
S△OEF＝
当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S△ODE=
综上得S△OEF＝
于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面积不小于2
④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.
6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1
x2）,则y21=4x1,
y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
k=
.从而AB的垂直平分线l的方程为 
又点P（x0,0）在直线上，所以 
而
于是
故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是
，代入
中，
整理得
（·）
则
是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为0<
<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3)
(0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,则2(x0-3)
0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
综上所述，
当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
7.（江西卷21）．（本小题满分12分）
设点
在直线
上，过点作双曲线
的两条切线
，切点为
，定点
.
（1）求证：三点
共线。
（2）过点作直线
的垂线，垂足为
，试求
的重心所在曲线方程.
证明：（1）设，由已知得到
，且
，
，
设切线
的方程为：
由
得
从而
,解得
因此的方程为：
同理
的方程为：
又
在上，所以
，
即点都在直线
上
又也在直线上,所以三点
共线
（2）垂线
的方程为：
，
由
得垂足
，
设重心
所以
解得
由 可得
即
为重心所在曲线方程
8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分）
在直角坐标系
中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线
与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若
，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有>．
20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，
故曲线C的方程为
．··················································································· 3分
（Ⅱ）设
，其坐标满足
消去y并整理得
，
故
．······································································· 5分
若
，即
．
而
，
于是
，
化简得
，所以
．············································································ 8分
（Ⅲ）
．
因为A在第一象限，故
．由
知
，从而
．又
，
故
，
即在题设条件下，恒有
．··········································································· 12分
9.（全国一21）．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为
，经过右焦点垂直于
的直线分别交于两点．已知
成等差数列，且
与
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设
，
，
由勾股定理可得：
得：
，
，
由倍角公式
，解得
,则离心率
．
（Ⅱ）过直线方程为
,与双曲线方程联立
将
，
代入，化简有
将数值代入，有
,解得
故所求的双曲线方程为
。
10.（全国二21）．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，
是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求四边形
面积的最大值．
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
，
直线
的方程分别为
，
．············································ 2分
如图，设
，其中
，
且
满足方程
，
故
．①
由知
，得
；
由在上知
，得
．
所以
，
化简得
，
解得
或
．··································································································· 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点
到的距离分别为
，
．································································ 9分
又
，所以四边形的面积为
，
当
，即当
时，上式取等号．所以
的最大值为．····························· 12分
解法二：由题设，
，
．
设
，
，由①得
，
，
故四边形的面积为
···················································································································· 9分
，
当
时，上式取等号．所以的最大值为．·············································· 12分
11.（山东卷22) (本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，
，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线
上，其中，点C满足
（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明：由题意设
由
得
，则
所以
因此直线MA的方程为
直线MB的方程为
所以
①
②
由①、②得 
因此 
，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，
将其代入①、②并整理得：
所以 x1、x2是方程
的两根，
因此
又
所以
由弦长公式得
又，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为
或
（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上，并注意到点
也在直线AB上，
代入得
若D（x3,y3）在抛物线上，则
因此 x3=0或x3=2x0.
即D(0，0)或
（1）当x0=0时，则
，此时，点M(0,-2p)适合题意.
（2）当
，对于D(0，0)，此时
又
AB⊥CD，
所以
即
矛盾.
对于
因为
此时直线CD平行于y轴，
又
所以 直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
12.（陕西卷20）．（本小题满分12分）
已知抛物线：
，直线
交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使
，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．解法一：（Ⅰ）如图，设
，
，把代入得
，
由韦达定理得
，
，
，点的坐标为
．
设抛物线在点处的切线的方程为
，
将代入上式得
，
直线与抛物线相切，
，
．
即
．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则
，又
是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，
．
又
．
，解得
．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设
，把代入得
．由韦达定理得
．
，点的坐标为．
，
，
抛物线在点处的切线的斜率为
，
．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知
，则
，
，
，解得．
即存在，使．
13.（四川卷21）．（本小题满分12分）
设椭圆
的左右焦点分别为
，离心率
，右准线为，
是上的两个动点，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）证明：当
取最小值时，
与
共线。
【解】：由
与
，得
，的方程为
设
则
由得
①
（Ⅰ）由，得
②
③
由①、②、③三式，消去
，并求得
故
（Ⅱ）
当且仅当
或
时，取最小值
此时，
故与共线。
【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；
【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。
14.（天津卷22）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以
为斜率的直线
与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求的取值范围．
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（
）．由题设得
，解得
，所以双曲线方程为
．
（Ⅱ）解：设直线的方程为
（
）．点
，
的坐标满足方
程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个一等实根，于是
，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足
，
．
从而线段的垂直平分线方程为
．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为
，
．由题设可得
．整理得
，．
将上式代入③式得
，整理得
，．
解得
或
．
所以的取值范围是
．
15.（浙江卷20）（本题15分）已知曲线C是到点P（
）和到直线
距离相等的点的轨迹。
是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得
为常数。
本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
（Ⅰ）解：设
为上的点，则
，
到直线
的距离为
．
由题设得
．
化简，得曲线的方程为
．
（Ⅱ）解法一：
设
，直线
，则
，从而
．
在
中，因为
，
．
所以
.
，
．
当
时，
，
从而所求直线方程为
．
解法二：设，直线，则，从而
．
过
垂直于的直线
．
因为
，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
16.（重庆卷21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若
,求点P的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=
，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由
得
①
因为
不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得
故点P在以M、N为焦点，实轴长为
的双曲线
上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足
，所以
由方程组
解得
即P点坐标为
