02 函数
一、选择题
1．（安徽6）．函数
的反函数为 （ C ）
A．
B．
C．
D．
2．（安徽9）．设函数
则
（ A ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
3．（北京2）若
，则（ A ）
A．
B．
C．
D．
4．（北京5）函数
的反函数为（ B ）
A．
B．
C．
D．
5．（福建4）函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2, 则f(-a)的值为（ B ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
6．（湖南4）函数
的反函数是 ( B )
7．（湖南6）下面不等式成立的是 ( A )
A．
B．
C．
D．
8．（江西3）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ B ）
A．
B．
C． 
D．
9．（江西4）若
，则（ C
）
A．
B．
C．
D．
10．（江西12）已知函数
，
，若对于任一实数
，与
的值至少有一个为正数，则实数
的取值范围是（ C ）
A． 
B．
C．
D．
11．（辽宁2）若函数
为偶函数，则a=（ C
）
A．
B．
C．
D．
12．（辽宁4）已知
，
，
，
，则（ C ）
A．
B．
C．
D．
13．（全国Ⅰ1）函数
的定义域为（ D ）
A．
B．
C．
D．
14．（全国Ⅰ2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
看作时间
的函数，其图像可能是（ A ）
15．（全国Ⅰ8）若函数的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ A ）
A．
B．
C．
D．
16．（全国Ⅱ4）函数
的图像关于（ C ）
A．
轴对称 B． 直线
对称
C．
坐标原点对称 D． 直线
对称
17．（全国Ⅱ5）若
，则（ C ）
A．
<
<
B． << C． << D． <<
18．(山东3) 函数
的图象是（ A ）
19．(山东5) 设函数
则
的值为（ A ）
A．
B．
C．
D．
20．(山东
12) 已知函数
的图象如图所示，则
满足的关系是（ A ）
A．
B．
C．
D．
21．(天津3 ) 函数
的反函数是（ A
）
A．
B．
C．
D．
22．(天津10) 设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这时的取值的集合为（ B
）
A．
B．
C．
D．
23．(重庆6)函数y=10x2-1 (0＜x≤1＝的反函数是 ( D )
(A)
(B)
(x＞
)
(C) 
(＜x≤
(D) (＜x≤
24．(湖北6).已知在R上是奇函数，
且
( A )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
25．(湖北8). 函数
的定义域为 ( D )
A.
B. 
C.
D.
26．(陕西7) 已知函数
，
是的反函数，若
（
），则
的值为（ D ）
A．10 B．4 C．1 D．
27．(陕西11) 定义在
上的函数满足
（
），
，则
等于（ A ）
A．2 B．3 C．6 D．9
二、填空题
1．（安徽13）函数
的定义域为
．
2．（北京13）如图，函数的图象是折线段
，其中
的坐标分别为
，则
_________；2
函数在
处的导数
_________．
3．（北京14）．已知函数
，对于
上的任意
，有如下条件：
①
； ②
； ③
．
其中能使
恒成立的条件序号是_________．②
4．（湖南15）设
表示不超x的最大整数，（如
）。对于给定的
,
定义
则
________;
当
时，函数
的值域是_________________________。
当
时，
当
时，
所以
故函数的值域是.
5．（辽宁13）函数
的反函数是
．
6．(山东15) 已知
，
则
的
值等于 ．2008
7．（上海4）若函数f(x)的反函数为
，则
．
8．（浙江11）已知函数
，则
__________。2
9．（重庆14）若
则
＝
.-23
10．(湖北13).方程
的实数解的个数为
.
2
三、解答题
1．（江苏17）（14分）
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则
，
故
又
，所以
所求函数关系式为
②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令
得
当
时
，y是θ的减函数；当
时
，y是θ的增函数；
所以当
时，
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
km处。
2．（江苏20）（16分）
若
，
，
为常数，且
（1）求
对所有实数成立的充要条件（用
表示）
（2）设
为两实数，
且
若
求证：在区间
上的单调增区间的长度和为
（闭区间
的长度定义为
）
【解析】：本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。
（1）恒成立
（*）
若
，则（*）
，显然成立；若
，记
当
时，
所以
，故只需
。
当
时，
所以
，故只需
。
综上所述，对所有实数成立的充要条件是
（2）10如果，则的图像关于直线
对称。（如图1）
因为
，所以区间
关于直线对称。
因为减区间为
，增区间为
，所以单调增区间的长度和为。
20如果
，不妨设，则
，
于是当
时，
，从而
当
时，
，从而
当
时，
及
，
由方程
得
，（1）
显然
，表明
在
与
之间。
所以
综上可知，在区间上，
（如图2）
故由函数
及函数
的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为
，由，即
，得
（2）
故由（1）（2）得
综合1020可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
 |