07 圆锥曲线
一、选择题
1．（北京3）“双曲线的方程为
”是“双曲线的准线方程为
”的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（福建12）双曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1=2PE2，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
3．（宁夏2）双曲线
的焦距为（ D ）
A．
B．
C．
D．
4．（湖南10）．双曲线
的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A．
B．
C．
D．
5．（江西7）已知
、
是椭圆的两个焦点，满足
的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A．
B．
C．
D．
6．（辽宁11）已知双曲线
的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
，则
（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（全国Ⅱ11）设
是等腰三角形，
，则以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为（ B ）
A．
B． 
C． 
D．
8．（上海12）设
是椭圆
上的点．若
是椭圆的两个焦点，则
等于（ D ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．（四川11）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为的右支上一点，且
，则
的面积等于( C )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
10．(天津7) 设椭圆
的右焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为
，则此椭圆的方程为（ B
）
A．
B．
C．
D．
11．（浙江8）若双曲线
的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( D )
（A）3 （B）5
（C）
（D）
12．(重庆8)若双曲线
的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为( C
)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
13．
(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用
和
分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①
②
③
④
其中正确式子的序号是 ( B )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
14．(陕西9) 双曲线（
，
）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为
的直线交双曲线右支于点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．
B．
C． D．
二、填空题
1．（安徽14）．已知双曲线
的离心率是。则
＝
4
2．（宁夏15）过椭圆
的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，
为坐标原点，则
的面积为
．
3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆
的焦距为2，以O为圆心，
为半径的圆，过点
作圆的两切线互相垂直，则离心率
=
4．（江西14）已知双曲线
的两条渐近线方程为
，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为
．
5．（全国Ⅰ14）已知抛物线
的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
．
6．（全国Ⅰ15）在中，
，
．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率
．
7．（全国Ⅱ15）已知
是抛物线
的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为
，则
的面积等于 ．2
8．(山东13) 已知圆
．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为
．
9．（上海6）若直线
经过抛物线
的焦点，则实数
．-1
10．（浙江13）已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于A、B两点
若
，则
= 。8
三、解答题
1．（安徽22）．（本小题满分14分）
设椭圆
其相应于焦点
的准线方程为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点
倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，求证：
;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和
,求
的最小值
解 ：（1）由题意得：
椭圆的方程为
(2)方法一：由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设
为椭圆的左准线。则
作
，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上
同理 
。
方法二：
当
时，记
，则
将其代入方程 
得 
设 
，则
是此二次方程的两个根.
................(1)
代入（1）式得
........................(2)
当
时，
仍满足（2）式。
（3）设直线
的倾斜角为，由于
由（2）可得
，
当
时，取得最小值
2．（北京19）（本小题共14分）
已知的顶点在椭圆
上，在直线
上，且
．
（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（Ⅱ）当
，且斜边
的长最大时，求所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为，且边通过点
，所以所在直线的方程为
．
设两点坐标分别为
．
由
得
．
所以
．
又因为边上的高
等于原点到直线的距离．
所以
，
．
（Ⅱ）设所在直线的方程为
，
由
得
．
因为在椭圆上，
所以
．
设两点坐标分别为，
则
，
，
所以
．
又因为
的长等于点
到直线的距离，即
．
所以
．
所以当
时，边最长，（这时
）
此时所在直线的方程为
．
3．
(福建22)（本小题满分14分）
如图，椭圆
（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
解法一：
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C前方程为
.
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),
=1. ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②
n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③
由②，③得
x0=
.
所以点M恒在椭圆G上.
(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入
＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=
y1-y2=
令3t2+4=λ(λ≥4),则
y1-y2＝
因为λ≥4，0<
y1-y2有最大值3，此时AM过点F.
△AMN的面积S△AMN=
解法二：
（Ⅰ）问解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), 
……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②
n(x-4)-(m-4)y=0, ……③
由②，③得：当≠
.
……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
当x=
时，由②，③得：
解得
与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为
即点M恒在锥圆C上.
（Ⅱ）同解法一.
4．（广东20）（本小题满分14分）
设b
0，椭圆方程为
=1，抛物线方程为x2=8(y-b).如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A1B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.
解：（1）由
得 
当
时，
，
G点的坐标为（4，b＋2）
， 
过点G的切线方程为
，即
，
令y＝0得 
，点的坐标为 （2-b，0）；
由椭圆方程得点的坐标为（b，0），
即 b＝1，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为
和
．
（2）
过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
以
为直角的
只有一个;
同理以
为直角的只有一个;
若以
为直角, 设P点的坐标为
，则A、B坐标分别
为
、
由
得
，
关于
的一元二次方程有一解，x有二解，即以为直角的有二个;
因此抛物线上共存在4个点使
为直角三角形．
5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）
已知曲线C1：
（为参数），曲线C2：
（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
．写出的参数方程．
与
公共点的个数和C
公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解：（Ⅰ）
是圆，
是直线． 2分
的普通方程为
，圆心
，半径
．
的普通方程为
．
因为圆心到直线的距离为
，
所以与只有一个公共点．····················································································· 4分
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：
（为参数） ：
（t为参数）························· 8分
化为普通方程为：：
，：
，
联立消元得
，
其判别式
，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．10分
6．
（江西22）已知抛物线
和三个点
，过点的一条直线交抛物线于
、
两点，
的延长线分别交曲线于
．
（1）证明
三点共线；
（2）如果、、、
四点共线，问：是否存在
，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
（1）证明：设
，
则直线的方程：
即：
因
在上，所以
①
又直线
方程：
由
得：
所以
同理，
所以直线
的方程：
令
得
将①代入上式得
，即点在直线上
所以
三点共线
（2）解：由已知
共线，所以
以为直径的圆的方程：
由
得
所以（舍去），
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在
，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点
则
，所以交点
到的距离为
7．(江苏选修) 在平面直角坐标系
中，点
是椭圆
上的一个动点，求
的最大值．
解： 因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为
，其中
.
因此
所以。当
是，
取最大值2
8．（湖南19）(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.
解 （Ⅰ）设椭圆的方程为
(a＞b＞0).
由条件知c=2,且
=λ,所以a2=λ,
b2=a2-c2=λ-4.故椭圆的方程是
(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F2(x0,y0),则
解得
因为点F′(x0,y0)在椭圆上，所以
即
λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0.
设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以
＞0.
9．（辽宁21）．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线
与C交于A，B两点．k为何值时
？此时
的值是多少？
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，
故曲线C的方程为
．··················································································· 4分
（Ⅱ）设
，其坐标满足
消去y并整理得
，
故
．······································································· 6分
，即
．
而
，
于是
．
所以
时，，故．························································ 8分
当时，
，
．
，
而
，
所以
． 12分
10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为
，经过右焦点垂直于
的直线分别交于两点．已知
成等差数列，且
与
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（1）设
，
，
由勾股定理可得：
得：
，
，
由倍角公式
，解得
则离心率
．
（2）过直线方程为
与双曲线方程联立
将
，
代入，化简有
将数值代入，有
解得
最后求得双曲线方程为：
．
11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，
是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求四边形
面积的最大值．
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
，
直线
的方程分别为
，
．············································ 2分
如图，设
，其中
，
且
满足方程
，
故
．①
由知
，得
；
由
在上知
，得
．
所以
，
化简得
，
解得
或
．··································································································· 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点
到的距离分别为
，
．································································ 9分
又
，所以四边形的面积为
，
当
，即当
时，上式取等号．所以的最大值为
．····························· 12分
解法二：由题设，
，
．
设
，
，由①得
，
，
故四边形的面积为
···················································································································· 9分
，
当
时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
12．(山东22．（本小题满分14分）
已知曲线
所围成的封闭图形的面积为
，曲线的内切圆半径为
．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（1）若
（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求
的面积的最小值．
解：（Ⅰ）由题意得
又
，
解得
，
．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为
，
．
解方程组
得
，
，
所以
．
设
，由题意知
，
所以
，即
，
因为是的垂直平分线，
所以直线的方程为
，
即
，
因此
，
又
，
所以
，
故
．
又当
或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为
．
（2）当存在且
时，由（1）得，，
由
解得
，
，
所以
，
，
．
解法一：由于
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立，此时面积的最小值是
．
当，
．
当不存在时，
．
综上所述，的面积的最小值为
．
解法二：因为
，
又
，
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线
．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为
．设是双曲线上的点，
是点关于原点的对称点．
记
．求
的取值范围；
（3）已知点
的坐标分别为
，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，
为
截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
【解】（1）所求渐近线方程为
……………...3分
（2）设P的坐标为
，则Q的坐标为
， …………….4分
……………7分
的取值范围是
……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线
的斜率
……………11分
由计算可得，当
当
……………15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是
….16分
14．（四川22）（本小题满分14分）
设椭圆
的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
是上的两个动点，
，
证明：当
取最小值时，
【解】：因为
，到的距离
，所以由题设得
解得
由
，得
（Ⅱ）由得
，的方程为
故可设
由知知 
得
，所以
当且仅当
时，上式取等号，此时
所以，
15．(天津22)（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若以
为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求的取值范围．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为
，由题设得
解得
所以双曲线的方程为
．
（Ⅱ）解：设直线的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是
，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
，
．
从而线段的垂直平分线的方程为
．
此直线与轴，
轴的交点坐标分别为
，
．由题设可得
．
整理得
，．
将上式代入③式得
，
整理得
，．
解得
或
．
所以的取值范围是
．
16．（浙江22）（本题15分）已知曲线C是到点P（
）和到直线
距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得
为常数。
（Ⅰ）解：设
为上的点，则
，
到直线
的距离为
．
由题设得
．
化简，得曲线的方程为
．
（Ⅱ）解法一：
设
，直线
，则
，从而
．
在
中，因为
，
．
所以
.
，
．
当
时，
，
从而所求直线方程为
．
解法二：设，直线，则，从而
．
过
垂直于的直线
．
因为
，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
17．（重庆21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： 
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l：
的距离，若
,求
的值.
解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
,
所以双曲线的方程为x2-
=1.
(II)解法一：
由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=.
R所以双曲线的方程为x2-=1.
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知PN1,因PM=2PN2, ①
知PM>PN,故P为双曲线右支上的点，所以PM=PN+2. ②
将②代入①，得2PN2-PN-2=0，解得PN=
,所以
PN=
.
因为双曲线的离心率e=
=2,直线l:x=
是双曲线的右准线，故
=e=2,
所以d=PN,因此
解法：
设P（x,y），因PN1知
PM=2PN22PN>PN,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由PM=2PN2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=
(舍去x=).
有PM=2x+1=
d=x-=
.
故
18．(湖北20)（本小题满分13分）
已知双同线
的两个焦点为
的曲线C上.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
求直线l的方程
(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为
（0＜a2＜4＝，
将点（3，
）代入上式，得
.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线方程为
解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.
2a=PF1－PF2=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴双曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴k∈(－
)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=
于是
EF=
=
而原点O到直线l的距离d＝
,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝
，即
解得k=±
,
满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=
和
解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
x1－x2＝
. ③
当E、F在同一支上时（如图1所示），
SΔOEF＝SΔOQF－SΔOQE=
；
当E、F在不同支上时（如图2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
综上得SΔOEF＝
，于是
由OQ＝2及③式，得SΔOEF＝
.
若SΔOEF＝2，即
,解得k=±,满足②.
故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=
18．(陕西21)（本小题满分12分）
已知抛物线：
，直线
交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使
，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设
，
，把代入得
，
由韦达定理得
，
，
，点的坐标为
．
设抛物线在点处的切线的方程为
，
将代入上式得
，
直线与抛物线相切，
，
．
即
．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则
，又
是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，
．
又
．
，解得
．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设
，把代入得
．由韦达定理得
．
，点的坐标为．
，
，
抛物线在点处的切线的斜率为
，
．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知
，则
，
，
，解得．
即存在，使．