03 数列
一、选择题
1．（北京7）．已知等差数列
中，
，
，若
，则数列
的前5项和等于（ C
）
A．30 B．45 C．90 D．186
2．（广东4）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= （ B ）
A.7 B.6 C.3 D.2
3．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则
=（ C ）
A．
B．
C．
D．
4．（江西5）在数列
中，
， 
，则
（ A
）
A．
B．
C．
D．
5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足
，则
（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
6．（福建3）设是等差数列，若
，则数列前8项和为（ C ）
Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56
7．（上海14）若数列是首项为
，公比为
的无穷等比数列，且各项的和为a，则
的值是（ B ）
Ａ．1 Ｂ．2
Ｃ．
Ｄ．
8．(天津4) 若等差数列的前5项和
，且
，则（ B
）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（浙江4）已知
是等比数列，
，则公比
= ( D )
（A）
（B）
（C）2
（D）
10．(重庆1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 ( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
11．(陕西4) 已知是等差数列，
，
，则该数列前10项和
等于（ B ）
A．64 B．100 C．110 D．120
二、填空题
1．（安徽15） 在数列在中，
，
，
,其中
为常数，则
－1
2．（宁夏13）已知为等差数列，
，
，则
．15
3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（
）从左向右的第3个数为 
4．（四川16）设数列中，
，
则通项
______
_____。
三、解答题
1．（安徽21）（本小题满分12分）
设数列满足
其中
为实数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）设
，
,求数列的前
项和
；
（Ⅲ）若
对任意成立，证明
解 (1) 方法一：
当
时，
是首项为
，公比为
的等比数列。
，即 
。当
时，
仍满足上式。
数列
的通项公式为 
。
方法二
由题设得：当
时，
时，
也满足上式。
数列的通项公式为 。
(2) 由（1）得
(3) 由（1）知
若
，则
由
对任意成立，知
。下面证
，用反证法
方法一：假设
，由函数
的函数图象知，当趋于无穷大时，
趋于无穷大
不能对恒成立，导致矛盾。
。
方法二：假设，
，
即 
恒成立 （＊）
为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾，
2．（北京20）（本小题共13分）
数列满足
，
（
），
是常数．
（Ⅰ）当
时，求及
的值；
（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数
，当
时总有
．
解：（Ⅰ）由于
，且．
所以当时，得
，
故
．
从而
．
（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：
由，得
，
，
．
若存在，使为等差数列，则
，即
，
解得．
于是
，
．
这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记
，根据题意可知，
且
，即
且
，这时总存在
，满足：当
时，
；当
时，
．
所以由
及
可知，若
为偶数，则
，从而当
时，；若为奇数，则
，从而当时
．
因此“存在
，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，
记
，则满足
．
故的取值范围是
．
3．（福建20）（本小题满分12分）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（
）（n
N*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+
，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝
=2n-1.
因为bn·bn+2-b
=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-
b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1
4．（广东21）（本小题满分14分）
设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=
(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1
bm+bm+1+…+bm+11.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 记cn=nanbn(n=1,2,…)，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（1）由
得 
又 
，
数列
是首项为1公比为
的等比数列，
，
由
得
，由
得
，…
同理可得当n为偶数时，
；当n为奇数时，
；
|
|
|
|
当n为奇数时，
当n为偶数时，
令
……①
①×
得: 
……②
①-②得: 
|
|
5．（江苏19）（16分）
（1）设
是各项均不为零的等差数列（
），且公差
，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当
时，求
的数值；②求
的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数
，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当n=4时, 
中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去
，则
，即
化简得
，得
若删去，则
，即
化简得
，得
综上，得或。
②当n=5时, 
中同样不可能删去
，否则出现连续三项。
若删去，则
，即
化简得
，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列
中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有
，这与矛盾；同样若删去
也有，这与矛盾；若删去
中任意一个，则必有
，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，
。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中
（
）为任意三项成等比数列，则
，即
，化简得
（*）
由
知，
与
同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有
与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而
为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1，
，
，……，
满足要求。
6．（江西19）等差数列的各项均为正数，
，前项和为，
为等比数列, 
，且
．
(1)求
与
；
(2)求和：
．
（1）设的公差为
，的公比为，则为正整数，
，
依题意有
①
解得
或
(舍去)
故
（2）
∴
7．（湖南20）数列满足
（I）求
，并求数列的通项公式；
（II）设
，
，
，
求使
的所有k的值，并说明理由。
解：（I）因为所以
一般地, 当
时，
即
所以数列
是首项为0、公差为4的等差数列，
因此
当
时，
所以数列
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（II）由（I）知，
于是
.
下面证明:
当
时，
事实上, 当时，
即
又
所以当时，
故满足的所有k的值为3,4,5.
8．（辽宁20）（本小题满分12分）
在数列
，
是各项均为正数的等比数列，设
．
（Ⅰ）数列
是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列
，
的前项和分别为，
．若，
，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）
是等比数列．·························································································· 2分
证明：设
的公比为
，
的公比为
，则
，故为等比数列．··········································· 5分
（Ⅱ）数列
和
分别是公差为
和
的等差数列．
由条件得
，即
．···················································································· 7分
故对，，…，
．
于是
将代入得
，
，
．································································ 10分
从而有
．
所以数列的前项和为
．····················································································· 12分
9．（全国Ⅰ19）（本小题满分12分）
在数列中，，
．
（Ⅰ）设
．证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（1），
，
，
则为等差数列，，
，
．
（2）
两式相减，得
．
10．（全国Ⅱ18）（本小题满分12分）
等差数列中，
且
成等比数列，求数列前20项的和
．
解：设数列的公差为
，则
，
，
．····························································································· 3分
由成等比数列得
，
即
，
整理得
，
解得
或
．···································································································· 7分
当时，
．················································································· 9分
当时，
，
于是
．····················································· 12分
11．(山东20)（本小题满分12分）
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数
构成的数列为，
．为数列的前项和，且满足
．
（Ⅰ）证明数列
成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
时，求上表中第
行所有项的和．
（Ⅰ）证明：由已知，当
时，
，
又
，
所以
，
即
，
所以
，
又
．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知
，
即
．
所以当时，
．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且
．
因为
，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故
在表中第13行第三列，
因此
．
又
，
所以
．
记表中第行所有项的和为
，
则
．
12．（上海21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．
已知数列：，
，
，
（是正整数），与数列
：，
，
，
，
（是正整数）．
记
．
（1）若
，求
的值；
（2）求证：当是正整数时，
；
（3）已知
，且存在正整数，使得在
，
，
，
中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．
【解】（1）
………………..2分
∵ 
………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
①
当n=1时，
等式成立….6分
②
假设n=k时等式成立，即
那么当
时，
………8分
等式也成立.
根据①和②可以断定：当…………………...10分
【解】（3）
………………………..13分
∵ 4m+1是奇数，
均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时，
为100.
…………………………18分
13．（四川21）（本小题满分12分）
设数列的前项和为
，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明： 
是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
【解】：（Ⅰ）因为
，所以
由
知
得
①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）
14．(天津20)（本小题满分12分）
已知数列中，，，且
．
（Ⅰ）设
，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的
，是
与
的等差中项．
（Ⅰ）证明：由题设
，得
，
即
．
又
，
，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得
．所以当
时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当
时，显然不是与的等差中项，故
．
由
可得
，由得
， ①
整理得
，解得
或
（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以对任意的，是与的等差中项．
15．（浙江18）（本题14分）已知数列
的首项
，通项
（
为常数），且
成等差数列，求：
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）数列的前项的和的公式。
（Ⅰ）解：由，得
，
又
，
，且
，得
，
解得
，．
（Ⅱ）解：
．
16．（重庆22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）
设各项均为正数的数列{an}满足
.
（Ⅰ）若
求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;
（Ⅱ）若
对n≥2恒成立，求a2的值.
解：（I）因a1=2,a2=2-2,故
由此有a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3,
从而猜想an的通项为
,
所以a2xn=
.
(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。
设Sn表示x2的前n项和，则a1a2…an=
,由2
≤a1a2…an＜4得
≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).
因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.
由于a1=2，
(n∈N*),得
(n∈N*),即
，
因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故
xn+1+2xn=(x2+2)
(n∈N*).
将上式对n求和得
Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.
因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故
(x2+2)(2－)＜5（n≥2）.
因此2x2－1＜
（n≥2）.
下证x2≤，若淆，假设x2＞，则由上式知，不等式
2n－1＜
对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.
又x2≥，故z2=，所以a2=2
=.
17．(湖北21).（本小题满分14分）
已知数列
,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
(Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛an｝是等比数列，则有
,即
（
）2=
2
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
（Ⅱ）证明：∵
又
由上式知
故当
数列｛bn｝是以
为首项，为公比的等比数列.
（Ⅲ）当
由（Ⅱ）得
于是
当
时，
，从而
上式仍成立.
要使对任意正整数n , 都有
即
令
当n为正奇数时，
当n为正偶数时，
于是可得
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有
的取值范围为
18．(陕西20)（本小题满分12分）
已知数列的首项
，
，
…．
（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）数列
的前项和．
解：（Ⅰ）
， 
，
，又，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，
．
设
…
， ①
则
…
，②
由①
②得
…
，
．又
…
．
数列的前项和 
．