高考数学试题精选（五）
卞志业 2008-1-17
1．（0801哈尔滨）设复数
，若
为实数，则
等于 （ ）
A．－2 B．－1 C． 1 D．2
2. （0712河北唐山）双曲线
的两个焦点为
，
在双曲线上，且满足
则
的面积为 （ ）
A．
B．1 C．2 D．4
3. （0801湖南长郡）已知
，0是原点，点
的坐标满足
则
的取值范围是（ ）
A、（0，3） B、[0，3] C、（－3，3） D、[－3，3]
4. （0801湖南长郡）已知对任意实数x，使
且
时，
，则
时，有（ ）
A、 B、
C、
D、
5．（0801哈尔滨）已知O为直角坐标系原点，P、Q坐标均满足不等式组
则
取最小值时的
的大小为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．（理科）（0801哈尔滨）
的概率密度函数
，则下列错误的选项是 （ ）
A．
B．
C．
的渐近线为
D． 
~
6．（0705山东聊城）已知点P（－3，1）在椭圆
的左准线上，过点P且方向向量为a（2，－5）的入射光线，经直线y=－2反射后过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C．
D．
7.（0801河南郑州）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（0712河北唐山）
的
边上的高为
，
，
且
将沿折成大小为
的二面角
，若
，则三棱锥
的侧面是（
）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状与
的值有关的三角形
9．（0712河北唐山）设
分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
，则
的值为（
）
A．1 B． C．2 D．不确定
10．（0801湖南师大附中）已知数列{an}的通项公式
，设前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n （ ）
A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31
11．（0801哈尔滨）在圆
内过点
有
条长度成等差数列的弦，其中最短弦长为数列的首项
，最长弦长为
，若公差
，那么取值的集合为 （ ）
A．{4，5，6} B．{6，7，8，9} C．{3，4，5} D．{3，4，5，6}
12．（0801哈尔滨）已知M是椭圆
上的点，两焦点为
，点
是
的内心，连结
并延长交线段
于
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
13．（0712山东邹平）已知双曲线
的离心率
，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为，则的取值范围是
.
14．（0712山东邹平）如图，空间有两个正方形ABCD和ADEF，M、N分
别为BD、AE的中点，则下列结论中正确的是
（填写所有正确结论对应的序号）
①MN⊥AD；
②MN与BF的是对异面直线；
③MN//平面ABF
④MN与AB的所成角为60°
15. （0801哈尔滨）动点P为椭圆上异于椭圆顶点
的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹是____________________
16．（0712浙江五校）有三颗骰子A、B、C，A的表面分别刻有1，2，3，4，5，6，B的表面分别刻有1，3，5，7，9，11，C的表面分别刻有2，4，6，8，10，12，则抛掷三颗骰子后向上的点数之和为12的概率是
17. （0712河北唐山）已知函数
. （1）将化成
的整式；
（2）若
与
的图像在
内至少有一个公共点，试求
的范围。
18．（理科）（0801哈尔滨）某商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得到2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买了一台价格600元的小灵通，这样小李可以得到3张奖券，小李抽奖后实际支出为（元）。
（1）求的分布列；
（2）说明小李出资50元增加一张奖券是否划算。
18．（0801哈尔滨）一袋中装有分别标记着1、2、3、4、5数字的5个球
（1）从袋中一次取出3个球，试求3个球中最大数字为4的概率；
（2）从袋中每次取出1个球，取出后放回，连续取三次，试求取出的3个球中最大数字
为4的概率。
19．（0712河北唐山）如图所示，正三棱柱
的底面边长为a，点M在BC上，
是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求证：点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求点C到平面
的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小。
20.（0801江苏如东）已知二次函数
满足：对任意实数x，都有
，且当
（1，3）时，有
成立。
（1）证明：
。
（2）若
的表达式。
（3）设
，若
图上的点都位于直线
的上方，求实数m的取值范围。
21．（0712河北唐山）设抛物线
的焦点为
，准线为
，
是抛物线上的两点
，且
与
为共线向量。（1） 求
的值；（2）上是否存在点
使
，证明你的结论。
22．（理科）（0712浙江五校）已知二次函数
有最大值且最大值为正实数，集合
，集合
（1）求
和
；
（2）定义与的差集：
且
，设
，
，x均为整数，且
，
为取自A－B的概率，
为x取自A∩B的概率，写出
与b的三组值，使
，
，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{
}、{bn}的通项公式（不必证明）；
（3）若函数
中，
，
，设t1、t2是方程
的两个根，判断
是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由
22．（0712浙江五校）已知数列
中
，数列{bn}满足：
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）设
.
答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 共12小题，每小题5分，满分60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | B | B | D | B | D | C
| D | C | C | B | A | C |
二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
13. 
14. 1，3 _
15. 直线，其方程为：x=a且y≠0 16. 
三、解答题: 本大题共6小题，其中17~21题每题12分，22题14分，满分74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17.（1）
（2）
18．（1）ξ可能取值为－550，450，1450，2450。
ξ的分布列为：
| P | －550 | 450 | 1450 | 2450 |
| ξ |
|
|
|
|
（2）小李出资50元，抽奖后实际支出为ξ
则 
小李不出资50元，抽资后实际支出为η
则η可取400，1400，2400
则 Eη=
Eη>Eξ说明小李出资50元增加一张奖券划算。
18．解：①从袋中一次取3个球，其中最大数字为4的概率为P，则
②含一个数字4的概率为
含二个数字4的概率为
含三个数字4的概率为
故含最大数字为4的概率为
19. （Ⅰ）证明 
是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴
且
正三棱柱
∴
底面ABC
∴
在底面内的射影为CM，
底面ABC为边长为a的正三角形，
∴点M为BC边的中点。
（Ⅱ）解：过点C作
，
由（Ⅰ）知且
∴
CH在平面
内，
∴
，
∴
，
由（Ⅰ）知
∴
∴
∴点C到平面的距离为
（Ⅲ）解：过点C作
于I，连HI，
∴HI为CI在平面
内的射影
∴
，
是二面角的平面角
在直角三角形
中，
∴
∴二面角的大小为
20. 解：（1）由条件知 
恒成立
又∵取x=2时，
与恒成立
∴ …………4分
（2）∵
∴
∴
……6分
又 恒成立，即
恒成立
∴
， …………10分
解出：
，∴
…………12分
（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 
上方即可，也就是直线的斜率
小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：
利用相切时△=0，解出 
∴
…………16分
解法2：
必须恒成立
即 
恒成立
①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：
②
解出：
总之， ………16分
21.（1）
（2）存在点
使结论成立。
22．（1）∵函数
有最大值， ∴
由于
，而最大值为正数，则
，∴
∴
，
……………………3分
（2）要使
，，可以使
①
中有3个元素，
中有2个元素， 
中有1个元素，
则
，
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素
则
，
③中有9个元素，中有6个元素,中有3个元素
则
，
因此，
，
…………………………………6分
（3）对于方程，
，
在N上单调递减
∴ 
，不存在最小值…………………6分
22. （1）
∴
∴{bn}是首项为
，公差为1的等差数列 …………4分
（2）依题意有
∴
函数
上为减函数. 在(－
,3.5)上也为减函数.
故当n=4时，
取最大值3，n=3时，取最小值－1 …………5分
（3）∵
∴
，
∴当n=2时，Sn取最大值
，当n=3时，Sn取最小值
∴
……………………5分