08高考文科数学应用性问题复习-高考数学试题、数学高考试卷、模拟题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

专题九：高考文科数学应用性问题复习（文科）

考点回顾

数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，通过数学应用题，考查学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模式；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。在高考中，应用题的考查已逐步成熟，主要从以下几方面考查。

1.考查函数的解析式、定义域、值域、单调性等有关知识的应用，考查构建函数模型并解决函数模型的能力；

2.考查数列特别是两类特殊数列及可化为这两类数列的数列求通项、求和等有关知识的应用；

3.考查三角函数特别是解三角形的有关知识在实际问题中的应用。

4.考查利用不等式及线性规划的有关知识求解实际生活中的最优化问题；

5.考查排列组合的基础知识的应用，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力；

6考查概率统计的有关基础知识的应用，培养学生的实践能力。

一、经典例题剖析

例1（07重庆文）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

分析：本例考查了函数模型在实际问题中的应用以及导数法求最值。

解析：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×1²-6×1³（m³），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m³。

点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。

例2(07湖北文)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．

解析：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，又由已知条件，，于是有，所以．

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。

例3（07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1＋r）^a^－¹，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1＋r）^a^－²，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一个等比数列，｛B_n｝是一个等差数列.

分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。

解析：（1）我们有（）

（2），对反复使用上述关系式，得：

。①

在①式两边同乘以，得：

②

由②－①，得

，即　。

如果记，，则，其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公差的等差数列。

　　点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。

例4. （07山东文）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

分析：本例是线性规划在实际问题中的应用，考查了学生分析解决问题的能力。

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得　　　　　　目标函数为．二元一次不等式组等价于　　作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．　　如图：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作直线，　　即．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．联立解得．　　点的坐标为．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

点评：本题考查利用线性规划求实际应用问题，考查分析解决问题的能力。

例5(07天津文)已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

分析：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．

解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且，，

故取出的4个球均为红球的概率是．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且，．故取出的4个红球中恰有1个红球的概率为．

例6. （06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　　种不同的方法（用数字作答）。

分析：本题考查排列组合的基本知识极运用知识分析解决问题的能力。

解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有

点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.

例7在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（　）

（A）36个　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）24个　　　　　（C）18个　　　　　（D）6个

分析：本例命题意图是考查有排列组合知识及两个原理的运用。

解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B

点评：本例是限制条件的排列、组合问题中的数字问题，要注意分类整合思想的运用。

例8（07全国I文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率。

解析：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．，．

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．则．，．

．

点评：本题主要考查互斥事件的概率及对立事件的概率。

例9某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），

B（0，220），C（0，300），

　　　直线l的方程为即　　　　设点P的坐标为（x，y），　　　则　　由经过两点的直线的斜率公式

由直线PC到直线PB的角的公式得，

要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式

当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为

由此实际问题知，所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.

二、方法总结与2008年高考预测

（一）方法总结

1 解应用题的一般程序

（1）审：审即审题，它是解题的基础。首先通过阅读能准确理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步预测所属数学模型，这一步是基础。

（2）建：建即建立数学模型，也就是将文字语言转化为数学语言，利用已有的数学知识，建立相应的数学模型。熟练掌握常见的基本数学模型，正确进行建“模”是解应用题的关键的一步。

（3）解：解即求解数学模型，得到数学结论。解题时，一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意优化过程。

（4）答：答即将数学结论还原给实际问题的结果。

2分析和解答应用题的基本思路如右图。

3中学数学中常见应用问题与数学模型

（1）最值问题——工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值；

（2）预测问题——经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；

（3）优化问题——实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；

（4）等量关系问题——建立“方程模型”解决；

（5）测量问题——可设计成“图形模型”利用几何知识解决；

（6）概率与统计问题——在出现如何有效配置资源以及与随机现象统计有关问题时，常用“概率与统计”模型。

（7）排列、组合应用文题——在排列与组合问题中，常常涉及“人或物的排列、组合；产品的抽样检测”等。

（二）2008年高考预测

通过对2007年高考试题及考纲分析,笔者认为.08年高考应用题试题数量会保持稳定,一般为两小一大。在小题中考查函数、数列、不等式、排列组合、概率等知识的应用，解答题仍会以概率统计为基本题型进行考察。因此要加强以下几方面训练。

1.函数、数列、不等式应用题、排列组合问题以选择填空为主。

2概率与统计问题训练以解答题为主。

三、强化训练

1　　　　　　　　　 选择题

1. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额　①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款(　　)

A　413.7元　　　B　513.7元　　　 C　546.6元　　　 D　548.7元

解析　此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元　

答案 C

2. 某体育彩票规定　从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花(　　)

A. 1050元　　　B. 1052元　　　　 C.　2100元　　　　D. 2102元

解析　从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.　

答案 C

3. 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒的加速度匀加速开走，那么　　　　　　　　　（　　）

A.人可在7秒内追上汽车　　　　　　　 B.人可在10秒内追上汽车

C.人追不上汽车，其间距离最近为5米　 D.人追不上汽车，其间距离最近为7米

　解析：本题是一道加速行程问题，需要运用物理知识建立数学模型，即通过加速运动建立二次函数关系式.若经t秒人刚好追上汽车，则S+25=6t,由S=t²,得t²－6t+25=0t²－12t+50=0.考虑距离差d=(S+25)－6t=t²－6t+25=(t－6)²+7,故当t=6秒时，d有最小值7米，即人与汽车最少相距7米，故选D.

答案D

4 某人从2002年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为

A.a(1+r)⁷　　 B. ［(1+r)⁷-(1+r)］C.a(1+r)⁸　　　　D. ［(1+r)⁸-(1+r)］

解析：2007年1月1日，2006年1月1日，…，2002年1月1日存入钱的本息分别为：a(1+r)，a(1+r)²，…，a(1+r)⁶.相加即可，选择B

答案B

5停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有(　　 )

A.A种　　　　　　 B.A种　　　　　 C.A·Ｃ种　　　　D.A·C种

解析：插空法.空车位插入8辆车的9个空格，故有C·A.选择.D

答案：D

6某单位有三个科室，为实现减员增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排一人，问共有多少种不同的安排方法(　　 )

A.75种　　　　　　 B.42种　　　　　 C.30种　　　　　　 D.15种

解析：分两类：(1)返回两人来自同一科室，返回有A种，故有C·Ａ=6；(2)两人来自不同的科室，返回有2+1=3,故有(CC)·3=36种.共有42种. 选择B

答案：B

7老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．

答案C

8从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 (　　　)

A．　140种　　　 B． 120种　　　C． 35种　　　　 D．　34种

解析: 从反面考虑，7人任意选4人的方法数减去全选男生的方法数即为所求　　　　　　故既有男生又有女生的不同的选法共有。

答案：D

9采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是　　　　　　　　　　(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. 　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.

解析：抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，为　

答案C

10为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0.27,78　　B．0.27,83

　　　 C．2.7,78　　 D．2.7,83

10 A解析：4.3～4.4,有1人,4.4～4.5有3人, 4.5～4.6有9人, 4.6～4.7有27人,故后六组共有87人,每组分别有27、22、17、12、7、2人，　故a= 0.27, b= 78

答案A

11、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A.15　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.10　　　　　　　 C.20　　　　　　　　　　　 D.5

解析：因为15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为150×

答案 B

12银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润。年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为　　　　　　　　（　　）

　　　 A．5%　　　　　　　　　　 B．10% C．15%　　 D．20%

解析：设客户投资为a，客户的回报率为x，依题意0.1a≤0.4（1+0.1）a+.06（1+0.35）a-ax≤0.15a,解得0.1≤x≤0.15，选择C。

答案 C

2　　　　　　　　　 填空题

1. 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是　　　　　　　　　　　　　

答案:

2. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是　　　　　　　 (结果用最简分数表示).

解析: 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是

3一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）/月收入段应抽出　　　　人

解析：由图知，在（元）/月收入段应抽出

100×=25人

答案25

4已知甲袋中放有编号分别为0，0，1，3的四个红色小球，乙袋中放有编号为0，1，3，3，的四个黄色小球，丙袋中放有编号为1，3，3，3的四个兰色小球，现从中随机摸出红，　黄，兰色小球各一个，则摸出三个小球的编号相同的概率　　　　；

解析：三个小球编号相同的概率

答案：

3　　　　　　　　　 解答题

1. 要建一间地面面积为20，墙高为的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。已知含门一面的平均造价为300元，其余三面的造价为200元，屋顶的造价为250元。问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？

解：设地面矩形在门正下方的一边长为，则另一边的长为，设总造价为元，则　　　　　　　

因为　，当且仅当（即时取“=”，所以，当时有最小的值此时，

　　答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为，另一边的长为时，能使总造价最低造价为17000元。

2. 某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m²的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.

（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x (m)的函数关系式f(x)；

（2）若由于地形限制，长、宽都不能超过16m，求f(x)的定义域;

（3）在条件（2）下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.

解析：①因污水处理水池的长为

由题设条件即函数定义域为[12.5,16]

②先研究函数上的单调性，

对于任意的

则

又

故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴当x=16时，y取得最小值，此时

综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元.

3. 我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？

解：设第n次去户外锻炼的人数为，去室内锻炼的人为，则有：，，

，，

　∴，

∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右　。

4. 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1. 5	1. 0	0. 5	1. 0	1.49	1	0. 51	0.99	1.5

经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.　

（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8 00至晚上20 00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.　

4解　（1）由表中数据，知T=12，ω=.　由t=0,y=1.　5得A+b=1.　5.　

由t=3,y=1.　0,得b=1.　0.　所以，A=0.　5,b=1.　振幅A=，∴y=

(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放.　∴>1, >0.　∴2kπ－,即有12k–3<t<13k+3.　由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.　∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9 00至下午15 00.

5.已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？　　　（注：年利润=年销售收入－年总成本）

解：（1）当

　　　当　　　　

　（2）①当　　　　　　　　

　　　当　　　　　　　　　　　　

　　　 ②当x>10时　

　　　当且仅当　　　　　　　　　　　　

　　　由①②知，当x=9千件时，W取最大值38.6万元.　　　　　　　　　　　　

6. 已知甲袋中放有编号分别为0，0，1，3的四个红色小球，乙袋中放有编号为0，1，3，3，的四个黄色小球，丙袋中放有编号为1，3，3，3的四个兰色小球，现从中随机摸出红，　黄，兰色小球各一个，求　（1）摸出三个小球的编号相同的概率；（2）摸出小球的编号和不小于7的概率.

解（1）三个小球编号相同的概率

　（2）三个小球的编号和不小于7的概率

7某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个　已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.　

7解　设分别生产P、Q产品x件、y件，则有，，，设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)，要使利润S最大，只需求x+2y的最大值， x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)