08届高三理科数学第一学期期末考试
理科数学
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
下列函数中，最小正周期为
的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2.
已知等差数列
的公差为2, 若
成等比数列, 则
=( )
A . –4 B. –6 C. –8 D. –10
3.
已知函数
是
的反函数，若
的图象过点（3，4），则
等于（ ）
A．
B．
C．
D． 
4.
若
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.
（2x3－
）7的展开式中常数项是（ ）
A
14 B－14 C42 D－42
6. 设集合A={xx2<a} ,B={xx<2},若A∩B=A, 则实数a的取值范围是（ ）
A．a<4 B.a£4 C. 0<a£4 D. 0<a<4
7.
设抛物线
与过其焦点的直线交于
两点，则
的值
A
B
C
D
8. 已知
=(2,3),
=(-4,7),则在方向上的投影为（ ）
A
B
C
D
9.
P为椭圆
上的点，
是两焦点，若
，则
的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
16
10. 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A
B
C
D
11.
若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a
)的四个根可以组成首项为
的等差数列，则a+b的值为（ ）
A.
B.
C. 
D. 
12.定义行列式运算
=
.将函数
的图象向左平移
（
）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数
的定义域为 ．
14. 过长方体的同一个顶点的三条棱长为3cm、4cm、5cm，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 cm2.
15. 若椭圆
的离心率为
,则双曲线
的离心率为_______
16.
定义“符号函数”f（x）=sgnx=
则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是___________.
高三理科数学答题卡
座位号
一. 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题5分, 共20分.
13. 14.
15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分．
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 
中，
，求
的值和的面积.
18.
一个袋子中有4个红球和3个黑球，现从该袋中取出4个球，规定取到一个红球得3分，取到一个黑球得1分，记所取球的得分为
.
（Ⅰ）求
的概率;
(Ⅱ) 求随机变量的数学期望
.
19. △OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点。
（Ⅰ）求证：OB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角O-DE-C的大小。
 |
20.
已知函数
在
处取得极值2.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）直线
与的图象相切于点P
，求直线的方程.
（Ⅲ）m满足什么条件时，函数在区间
上单调递增？
21.
如图，点
为双曲线
: 
（
，
）的左焦点，左准线
交
轴于点
，点P是上的一点，已知
，且线段PF的中点
在双曲线的左支上.
（Ⅰ）给出b和c 的关系式，并用c表示点M的坐标；
（Ⅱ）求双曲线的标准方程；
（Ⅲ）若过点
的直线
与双曲线的左右两支分别交于
、
两点，
设
，当
时，求直线的斜率
的取值范围.
 |
22. 已知
，
. 数列
满足
.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）已知
≥
，证明：
；
（Ⅲ）设
是数列
的前项和，判断与
的大小，并说明理由.
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. ）
1．B 2. B 3. D 4. D / C 5. A 6.B 7. B 8. C 9. B 10. B 11. C 12. B
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. ）
13． 
14. 50π 15. 
16. （－
，+∞）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解：
，
所以
，
。
18.解：（Ⅰ）时,这四个球中有1个红球,3个黑球………………………..2分
……………………………………………………….4分
(Ⅱ)随机变量的可能取值有：6、8、10、12，
， ，
，
…………7分
|
| 6 | 8 | 10 | 12 |
|
|
|
|
|
|
故随机变量概率分布列是：
…….………………………8分
…………………………………11分
答: （Ⅰ）
当时的概率为
;
(Ⅱ)随机变量的数学期望为
.……12分
19． 解：（1）证明：∵DE是△AOB的中位线
∴DE∥OB
DE
平面CDE
OB
平面CDE
∴OB∥平面CDE
（2）解法一：
作OM⊥直线DE于M点，
∵CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H
则OH⊥相交直线CM、ME，∴OH⊥平面CDE
已证OM，CM都垂直于DE，∴∠OMC是二面角O-DE-E的平面角 ，
cos∠OMC=
=
=
，∴二面角O—DE-C的大小为arccos
解法二：
如图，以O为原点，
为z轴正向，
为y轴正向，在平面OAB内作OF⊥y轴并以
为x轴正向建立空间直角坐标系（如图）
则题意得:O(0,0,0),A(2
,2,0)
B(0,4,0),C(0,0,2)
D(,1,0),E(,3,0)
取平面CDE的法向量
=（2，0，）
取平面OAB的法向量=（0，0，2）
cos<,>=
=
=
∴二面角O—DE—C的大小为arccos
20. （I）;
（Ⅱ）
;
（Ⅲ）
.
21．（Ⅰ）由
…①，
，∴
…②．
由中点坐标公式
.
（Ⅱ）又
在双曲线上，∴
…③．
联立①②③，解得
，
．
∴双曲线方程为
．
注：对点M用第二定义，得
，可简化计算．
（Ⅲ）由（Ⅱ），
，设
，
，m：
，
则由
，得
，
．
由
，得
．
∴
，
．
．
由，
，，消去
，
，
得
．
∵
，函数
在
上单调递增，
∴
，∴
．
又直线m与双曲线的两支相交，即方程两根同号，
∴
． ∴
，故
．
22．解：（I）∵，∴
.
∴
. ∴
.
下面用数学归纳法证明：
.
①
时，
，故结论成立.
②假设
时结论成立，即
.
∴
，即
.
也就是说
时，结论也成立.
由①②可知，对一切
均有
.
（Ⅱ）要证，
即证
，其中
.
令
， 
.
由
，得
.
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | — |
|
|
| 极大值 |
|
又
， 
.
∴当
，
. ∴
.
∴. 即.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
.
∴
.
∴
.
又
，即
. ∴
.