专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）
一、 考点回顾
1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用； 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法
6．知识网络
       |
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.
二、 经典例题剖析
1．有关不等式的性质
此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起
例1．（2006年江西卷）若a>0，b>0，则不等式－b<
<a等价于（ ）
A．
<x<0或0<x<
B.－<x<
C.x<-或x> D.x<或x>
解析：－b<<a等价于－b<<0或0<<a等价于x<或x>
答案：D
点评：注意不等式
和适用条件是
例2.（2007年北京卷）如果正数
满足
，那么（ ）
Ａ．
，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．
，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
解析：正数满足，∴ 4=
，即
，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=
，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2
答案：A
点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。
例3．(2007年安徽)若对任意
R,不等式
≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
(A)a＜－1 (B)
≤1
(C) ＜1
（D）a≥1
解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x＜0时，
－x≥ax，∴a≥－1，综上得
，即实数a的取值范围是≤1，选B。
2． 有关不等式的解法
此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，
要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。
例4．（2007年北京卷）已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围是
解析：集合={x a－1≤x≤a+1}，={x x≥4或x≤1 }．又，∴ 
，解得2<a<3，实数的取值范围是(2，3)。
答案：(2，3)
点评：本题将绝对不等式，一元二次不等式的解法与集合的知识结合起来考查，属中档题
例5．（2007年湖北卷）设
和
是两个集合，定义集合
，如果
，
，那么
等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：先解两个不等式得
，
。由定义选Ｂ
答案：Ｂ
点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。
注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解时出错。
例6．（2007年江西卷）已知函数
在区间
内连续，且
．（1）求实数
和
的值；（2）解不等式
．
解析：（1）因为
，所以
，由，即
，
．
又因为
在
处连续，
所以
，即
．
（2）由（1）得：
由得，当
时，解得
．
当
时，解得
，
所以的解集为
．
点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视
3．有关不等式的证明
不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。
例7．（2006年天津卷）已知数列
满足
并且 
为非零参数，
（I）若
、
、
成等比数列，求参数
的值；
（II）设
，常数
且
证明 
（I）解：由已知
且
若、、成等比数列，则
即
而
解得
（II）证明：设
由已知，数列
是以
为首项、为公比的等比数列，故
则 
因此，对任意
当
且时，
所以
点评：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前
项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力
4．有关不等式的综合问题
例8．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)
解析
①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得
消去
②由
(h＞0)
得 
所以V≤
，当且仅当h=
即h=1时取等号
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米
评注 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值
注意 在求得a的函数关系式时易漏h＞0
例9．（2007年全国卷I）设函数
（Ⅰ）证明：
的导数
；
（Ⅱ）若对所有
都有
，求a的取值范围。
解析：（Ⅰ）的导数
．
由于
，当且仅当
时，等号成立，故
．
（Ⅱ）令
，则
，
（ⅰ）若
，当
时，
，
故
在
上为增函数，
所以，
时，
，即
．
（ⅱ）若
，方程
的正根为
，
此时，若
，则
，故在该区间为减函数．
所以，时，
，即
，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是
．
点评：本题将导数、均值不等式的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查，要求要有较强的运用数学知识解决问题的能力。
例10（2007年福建卷）已知函数f(x)＝
－kx，.
（1）若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；
（2）若k>0，且对于任意
确定实数k的取值范围；
（3）设函数F(x)＝f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)…F(n)>
（
）。
解析：（Ⅰ）由
得
，所以
．
由
得
，故的单调递增区间是
，
由
得
，故的单调递减区间是
．
（Ⅱ）由
可知
是偶函数．
于是
对任意
成立等价于
对任意成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当
变化时
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数的取值范围是
．
（Ⅲ）
，
，
，
由此得，
故
．
点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．
三、 方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
1．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式的解法，二元的重要不等式及应用，不等式的常用证明方法
2．数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。
（二）2008年高考预测
在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了运算能力，分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。
由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。
四、 强化训练
（一） 选择题
1．设
是非零实数，若
，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：C 用
可以排除A，
可以排除B,D,故选C
答案：选C
评注：解选择题时一定注意解题方法，特值检验对有些选择题是正确快捷的选择。
2．设
均为正数，且
则 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：由
可知
，由
可
知
，由
，可知
从而.故选A
答案：选A
3．已知不等式
对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：
，当
等号成立，所以
的最小值为
，
答案：选B
4．函数
的定义域为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：要使函数有意义，则
答案：选A.
5．设
是奇函数，则使
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由
得
选A
答案：选A
6．设函数f(x)=
，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
A (－∞，－2)∪(－
，+∞) B (－，)
C (－∞，－2)∪(－，1) D (－2，－)∪(1，+∞)
解析 由f(x)及f(a)＞1可得
① 或
② 或
③
解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－，1）
答案 C
7．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图像与f(x)的图
像重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
A ①③ B ②④ C ①④ D ②③
解析
由题意f(a)=g(a)＞0，f(b)=g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)∴f(b)－f(－a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)，
而g(a)－g(－b)=g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］=2g(b)＞0，
∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)，同理
f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)
答案 A
8．下列四个命题中 ①a+b≥2
②sin2x+
≥4 ③设x，y都是正数，若
=1，则x+y的最小值是12 ④若x－2＜ε，y－2＜ε，则x－y＜2ε，其中所有真命题的个数为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
解析 ①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”
④式 x－y=(x－2)－(y－2)≤(x－2)－(y－2)≤x－2+y－2＜ε+ε=2ε ④为真命题
答案 D
评注：本题考查重要不等式的使用条件及绝对值不等式的应用
9．
（ ）
解析：由不等式的意义知，
的最大值的为2，从而
答案：C
10．
（ ）
解析：令
，
，
与
的图象均过点
，由不等式
恒成立，得
。点
在图象上，当的图象过点时，
。由图象知，
。
答案：D
评注：本题考查了对数函数的图象与性质，不等式的知识以及数形结合的数学思想
11．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
| 行业名称 | 计算机 | 机械 | 营销 | 物流 | 贸易 |
| 应聘人数 | 215 830 | 200 250 | 154 676 | 74 570 | 65 280 |
| 行业名称 | 计算机 | 营销 | 机械 | 建筑 | 化工 |
| 应聘人数 | 124 620 | 102 935 | 89 115 | 76 518 | 70 436 |
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张
解析：就业情况＝， 计算机就业情况＝＞1，
化工就业情况＝＜1，则A不合适.同理：建筑业就业情况＜＜1
物流行业就业情况＝＞1，故选B.
答案：B
评析：读懂题意是关键，这里比值越小，就业情况越好.
12．若函数
在区间（0，）恒有，则的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，－） B．（－，+∞） C．（0，+∞） D．（－∞，－）
解析：设u＝2x2+x，当x∈（0，）时，u∈（0，1），而此时f（x）＞0恒成立，
∴0＜a＜1，
∴u＝2x2+x＝2（x+）2－，则递减区间为（－∞，－），
又u＝2x2+x＞0，∴x＞0或x＜－，∴f（x）的单调递增区间为（－∞，－）
答案：D
评析：本题考查复合函数的单调性，对数函数的性质及解不等式等知识，这里要特别注意复合函数的定义域.
（二） 填空题
13．不等式
（
）的解集为
.
解析： 注意到
，于是原不等式可变形为
而
，所以
，故应填
答案：
14． 设函数
，已知
,则的取值范围为_______
A,
B,
C,
D,
解析：
，解得或
答案：
15．函数
的最小值为
．
解析：要使有意义，需
且
，解得
且
所以的定义域是
，当
时是单调递减函数，在处取最小值为4；当
时是单调递增函数，在
处取最小值为
，比较得最小值为
答案：
评注：本题考查了不等式的解法，以及利用复合函数的单调性来求最值，考查全面，体现了分类讨论的思想。
16．不等式
的解集为___________
解析：原不等式
解得
答案：
点评：按常规解法需讨论去绝对值，但此路不通。注意到不等式的结构，可联想到
中等号成立的条件是
，从而获解。
（三） 解答题
17． 已知适合不等式x2－4x+p+x－3≤5的x的最大值为3
(1)求p的值；
(2)若f(x)=
，解关于x的不等式
(k∈R+)
解析：(1)∵适合不等式x2－4x+p+x－3≤5的x的最大值为3，
∴x－3≤0，∴x－3=3－x
若x2－4x+p=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{xx≤3}的子集，∴x2－4x+p=x2－4x+p ∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，
令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8
(2) f(x)=
，∴f-－1(x)=log8
(－1＜x＜1
，
∴有log8＞log8
，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k
∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x－1＜x＜1
18．设
，
点评：本题根据已知等式特征，构造二次函数，再根据二次函数的根的分布知求得范围。
19．求证：对于任意的
不等式
成立。
证明：设
显然该函数是以为主元的一次函数。
当
时，是单调函数，且
所以，当时，的最大值小于1，即
点评：本题根据不等式特征，构造一次函数，再根据一次函数的保号性证明不等式，简
单明了。
20．（1）已知
是正常数，
，
，求证：
，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数
（
）的最小值，指出取最小值时的值．
解析：
（1）
，
故．当且仅当
，即
时上式取等号；
（2）由（1）
．
当且仅当
，即
时上式取最小值，即
21． 如图，设曲线
在点
处的切线
轴所围成的三角形面积为
，求（1）切线
的方程；2）求证
（1）解： 
，
切线的斜率为
故切线的方程为
，即
（2）证明：令
，又令
，
从而
的最大值为
，即
点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法
在证明不等式中的优越性。
22．已知函数
（1）设
，求证：
证明：（1）
当且仅当
时，上式取等号。
（2）
时，结论显然成立
当
时，
点评：本题主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。
（四） 创新试题
1. 三个同学对问题“关于的不等式
＋25＋
－5≥
在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
解析：
，设
，
，当
时取到最小值10，
，当或（舍）。所以当时取到最小值10。所以取到最小值10，
答案：
点评：本题命题新颖，由三个人的说出了这个题目的解题思路，可以减轻在考场上的紧张感，使学生感到有趣，有利于发挥出好的水平的。
2. 对于定义在区间
上的两个函数
和
，如果对任意的
，均有不等式
成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数
与
，给定区间
.
（1）若与在区间上都有意义，求的取值范围；
（2）讨论函数与在区间上是否“友好”.
答案：（1）函数与在区间上有意义，
必须满足
（2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的，
则
即 
（*）
因为
，而在
的右侧，
所以函数
在区间上为减函数，从而
于是不等式（*）成立的充要条件是
因此，当
时，函数与在区间上是“友好”的；当
时，函数与在区间上是不“友好”的.
五、 复习建议
1．证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列、二次曲线、三角函数、函数、导数等相结合，解答时需要综合运用这些知识。
2．在解不等式时要特别注意等价转化与分类讨论的数学思想的运用。根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。