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08高考数学第二轮复习数列练习

一、本章知识结构：

文本框: 有关应用

二、高考要求

1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.

2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.

3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.

三、热点分析

1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

　2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　

3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.

4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　

5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.

四、复习建议

1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.

2．注意等差（比）数列性质的灵活运用.

3．掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.

4．注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.

5．注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.

6．　数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

五、典型例题

数列的概念与性质

【例1】　　　　　　　　　已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.

解：∵q=1时，

又显然，q≠1

∴

依题意；解之

又，

依题意，将代入得　

【例2】　　　　　　　　　等差数列{a_n}中，=30，=15，求使a_n≤0的最小自然数n。

解：设公差为d，则或或或

解得：Þ a₃₃ = 30 与已知矛盾　　或Þ a₃₃ = - 15 与已知矛盾

或Þa₃₃ = 15　　或 Þ a₃₃ = - 30 与已知矛盾

∴a_n = 31+(n - 1) () Þ 31 0 Þ n≥63

∴满足条件的最小自然数为63。

【例3】　　　　　　　　　设等差数列{a}的前n项和为S，已知S₄=44,S₇=35

（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；

（2）求数列的前n项和Tn。

解：（1）设数列的公差为d，由已知S₄=44,S₇=35可得a₁=17,d=-4

∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).

（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，

当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S₅-S=2n-19n+90.

【例4】　　　　　　　　　已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。

解：由得

∴　　∴

【例5】　　　　　　　　　已知数列：

①求证数列为等差数列，并求它的公差

②设，求的和。

解：①由条件，

∴；∴

故为等差数列，公差

②

又知

∴

【例6】　　　　　　　　　已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和S_n；

解：(1)记数列1，1，2……为{A_n}，其中等比数列为{a_n}，公比为q；

等差数列为{b_n}，公差为d，则A_n =a_n +b_n (n∈N）

依题意，b₁ =0，∴A₁ =a₁ +b₁ =a₁ =1 ①　　A=a+b=aq+b+d=1 ②

A=a+b=aq² +b+2d=2 ③

由①②③得d=-1, q=2,　　 ∴

∴

【例7】　　　　　　　　　已知数列满足a_n+S_n=n,(1)求a₁,a₂,a₃,由此猜想通项a_n,并加以证明。

解法1：由a_n+S_n=n,

当n=1时，a₁=S₁，\a₁+a₁=1，得a₁=

当n=2时，a₁+a₂=S₂，由a₂+S₂=2，得a₁+2a₂=2，\a₂=

当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃，由a₃+S₃=3，得a₁+a₂+2a₃=3\a₃=

　　　　　　猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。

当n=1时,a₁=1-,(1)式成立

假设,当n=k时,(1)式成立,即a_k=1-成立，

则当n=k+1时,a_k+1+S_k+1=k+1,S_k+1=S_k+a_k+1

\2a_k+1=k+1-S_k　又a_k=k+S_k

\2a_k+1=1+a_k \a_k+1=

即当n=k+1时,猜想（1）也成立。

所以对于任意自然数n,都成立。

　　　　　　解法2：由a_n+S_n=n得，两式相减得：，

即，即，下略

【例8】　　　　　　　　　设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又

。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；

(2)当时，试判断c_n的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。

　　　　　　解：(1)设数列的公比为q

由条件得

　　　　　　(2)

　　　　　　证明：①当n=5，c₅<0命题成立

②假设当

当也成立

由①，②对一切n5，都有c_n<0。

【例9】　　　　　　　　　是等差数列，数列满足的前n项和。(1)若的公差等于首项a₁，证明对于任意自然数n都有；

(2)若中满足，试问n多大时，S_n取得最大值？证明你的结论。

解：(1)当，∴原命题成立

假设当成立

则

　　　　　　(2)由

故中最大

【例10】　　　　　　　已知数列的前n项和为S_n，满足条件，其中b>0且b1。(1)求数列的通项a_n；(2)若对4，试求b的取值范围。

解：(1)由已知条件得

当n=1时，

故

　　　　　　(2)由

【例11】　　　　　　　两个数列、　中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。

解：(1)

是等差数列

(2)又，

又

数列的概念与性质练习

一、选择题

1．设（　D　）

　　　　　　A．

　　　　　　B．

　　　　　　C．

　　　　　　D．

2．等比数列中，，那么

的值为（　C　）

　　　　　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

3．11．等比数列 {a} 中，a=7，前三项之和 S=21，则公比q的值是(　C　 )

　（Ａ） 1　（Ｂ） -　（Ｃ） 1或 -　（Ｄ） -1或

4．首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等

比数列的第四项为（　B　）

　　　　　　A．8　　　　　　　　　　　　　　B．－8　　　　　　　　　　　　 C．－6　　　　　　　　　　　　D．不确定

5．已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构

成的数列的通项公式是（ B　）

　　　　　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

6．数列{a_n}的前n项和S_n=3n-2n² (n∈N)，当n>2时，就有（ D ）

　　A．S_n>na₁>na_n　　B．S_n< na_n<na₁　 C．na₁<S_n<na_n　 D．na_n<S_n<na₁

7．有下列命题：

①x=是a, x, b成等比数列的充分但不必要条件

②某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列

③已知S_n表示数列{a_n}的前n项和，且S，那么{a_n}一定是等比数列

④设，则这三个数a, b, c成等差数列

其中正确的命题序号是：（　D　）

　　A．②④　　　B．①②③　　　C．①③　　　　D．①②④

8．若两个等差数列的前n项和(nÎN)，则的值等于（ C ）

　　A．　　B．　　C．　　D．

9．在等差数列中，3(a₃+a₅)+2(a₇+a₁₀+a₁₃)=24，则此数列前13项之和为（ A ）

　　A．26　　B．13　　C．52　　D．156

10．等差数列，=－5，它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项，余下10

项的算术平均值为4，则抽去的是（ D　）

　　A．　　B．　　C．　　D．

二、填空题

1．已知数列的前n项和的公式为，则通项公式为　　　　　　　　　。

2．数列{a}的通项公式为前n项和为 S，若

(a为实常数)，则a的值等于　　　　　　。3

三、解答题

1．

（1）（2）

（3）

解：（1）

_（2_）

②－①得

(3)当n=2k（k∈N）时，

当n=2k-1　(k∈N)时，

2．数列的前n项和为S_n, 已知是各项为正数的等比数列。试比较　的大小，证明你的结论。

解：依题意, 可设

则

从而有

(Ⅰ)当q = 1时, a₂ = a₃ = … = 0

∴

(Ⅱ)当q > 0且时,

(1)当n = 1时,

∴

(2)当

(i)若q > 1时, 则　　　　

(ii)若0 < q < 1时, 则

3．已知数列

　　(1)分别求出。

(2)当n³9且n是自然数时，试比较与2的大小，并说明理由。

解：（1）；

（2）

时命题成立

4．已知，

⑴比较与的大小。

⑵试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。

解：（1）∵f(n+1)-f(n)=S_2n+3-S_n₊₂-(S_2n+1-S_n₊₁)=…=

>=0，

∴f(n+1)>f(n)。

（2）∵f(n+1)>f(n)，∴当n>1时，f(n)的最小值为f(2)=S₅-S₃=

∴必需且只须<……………①，

由得m>1且m≠2

令t=则不等式①等价于，解得：0<t<1

即0<<1，即-1<log_m(m-1)<0或0<log_m(m-1)<1，

解之得：。

5．某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。

(1)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)？

　　　　　　(2)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)？

　　　　　　解：(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款x元, 则

　　　　　　10⁵×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + … + x,

　　　　　　10⁵×1.5 = 10x + 45×0.05x,

　　　　　　解得(元)

　　　　　　(2)若向工商银行贷款, 设每年还款y元, 则

　　　　　　10⁵×(1 + 4%)¹⁰ = y(1 + 4%)⁹ + y(1 + 4%)⁸ + y(1 + 4%)⁷ + … + y

　　　　　　其中1.04¹⁰ = (1 + 0.04)¹⁰ = 1 + 10×0.04 + 45×0.04² + 120×0.04³ + 210×0.04⁴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + …1.4802

　　　　　　(元)　　　

　　　　　　答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。

数列的综合应用(1)

【例1】　　　　　　　　已知无穷数列{a_n},S_n是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a₁，a₂，a₃；（2）证明{a_n}是等比数列;

（3）设计算

解：（1）S₂=

（2）猜想　a

（1）　　当n=1时，命题成立

（2）　　假设n=k（k≥1）时命题成立,即

(*)

同理有　1-S_k+1=a_k+1　　　 (**)

由(*)式和假设

由（**）式，得，1=（S_k+a_k+1）

故　a_k+1=

∴当n=k+1时，命题也成立。

由（1），（2）n∈N,a

此时　

（2）另证：对　n≥2, 1-S_n=a_n_-1-a_n

1-　　　　　　　 S_n₊₁=a_n-a_n₊₁

　两式相减,有

（3）

【例2】　　　　　　　　已知，数列满足

（1）写出数列的前五项，试归纳出的表达式，并用数学归纳法证明。

（2）求。（3）若求数列的前n项的和S_n。

解：（1）由得数列前五项

(ii)假设时等式①成立，即

当时

即等式①对也成立

由（i）（ii）可知等式①对都成立

（2）

（3）

【例3】　　　　　　　　已知a>0，a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=a_nlga_n

（n∈N）。（1）求数列{b_n}的前n项和S_n；

（2）当数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.

解：（1）由题意知a_n=aⁿ，b_n=naⁿlga.

∴S_n=（1 • a+2 • a²+3 • a³+……+n • aⁿ）lga.

a S_n=（1 • a²+2 • a³+3 • a⁴+……+n • aⁿ⁺¹）lga.

以上两式相减得

（1–a）S_n=（a+a²+a³+……+aⁿ–n • aⁿ⁺¹）lga .

∵a≠1，∴.

（2）由b_k+1–b_k=(k+1)a^k+1lga–ka^klga=a^klga[k(a–1)+a].

由题意知b_k+1–b_k>0，而a^k>0，

∴lga[k(a–1)+a]>0.　①

（1）若a>1，则lga>0，k(a–1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；

（2）若0<a<1，则lga<0，

不等式①成立恒成立

综合（1）、（2）得a的取值范围为

【例4】　　　　　　　　已知数列{a_n}的前n项和为S_n，又有数列{b_n}，它们满足关系，对有。

（1）求证{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式

（2）求

解：⑴证法一：当 n=1时，。

同理，

(2)－(1),

即

由　　　

于是

由(3),(4)知的等比数列，

证法二：同上算得，……猜想且数学归纳法证明，

(1) 当，命题成立

(2)假设时命题成立，即成立。

∴

又

　　　　　　由(1)(2)知对猜想成立

　　　　　　的等比数列，

⑵

∴

解法2：由

，∴{b_n}是等比数列；且

【例5】　　　　　　　　已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(q<1)的等比数列，其前n项和为，设，若，求d和q。

解：；

又；

又

【例6】　　　　　　　　已知等比数列中a₁ = 1，公比为x (x > 0)，其前n项和为S。

（1）写出数列的通项公式及前n项和S_n的公式；（2）设，写出b_n关于x和n的表达式；（3）判断数列{b_n}的增减性；（4）求。

解：（1）

（2）

（3）当；∴

当n1时，

综上知为递减数列。

（4）当

数列的综合应用(1)

一、选择题

1．等差数列的通项公式为的前n项和S等于(　A　 )

　　 (A) 　　 (B) 　　 (C) 　　(D)

2．一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（　B　）

　　　　　　A．　　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　　　C．－　　　　　　　　　　　D．任意实数

3．已知数列{a_n}满足a_n₊₁=a_n–a_n_–1（n≥2），a₁=a，a₂=b，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则下列结

论正确的是（ A　）.

（A）a₁₀₀=–a，S₁₀₀=2b–a　　　　（B）a₁₀₀=–b，S₁₀₀=2b–a

（C）a₁₀₀=–b，S₁₀₀=b–a　　　　（D）a₁₀₀=–a，S₁₀₀=b–a

4．设首项为3，公比为2的等比数列{a}的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比

数列{a'}的前n项和为S'，则的值等于(　 C　 )

　（Ａ）　（Ｂ）　（Ｃ）　（Ｄ） 2

5．在等比数列中，首项a₁ < 0，则是递增数列的充要条件是公比q满足

（　C　）

　　　　　　A．q > 1　　　　　　　　　　　B．q < 1　　　　　　　　　　　　　　　　　C．0 < q < 1　　　　　　　　D．q < 0

6．设首项为3，公比为2的等比数列 {a} 的前n项和为S，首项为2、公比为3的等

　比数列{a} 的前n项和为 S’，则的值等于：(　C　　)

　（Ａ）　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ） 2

7．已知数列中，，则这个数列前n项和的极限是（A）

（A）2　　（B）　　（C）3　　（D）

8．等差数列的通项，则由所确定的数列的前n项和是（ C　）

　　　　　　A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

9．已知等比数列{a_n}中，公比qR，且,，记

则S_n等于（　D　）

　　　　　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　D．

解：由已知可得

所以得：

所以

10．已知数列此数列所有项的和等于（　C　）

　　　　　　A．0.25　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0.5　　　　　　　　　　　　 C．0.3　　　　　　　　　　　　 D．0.375

二、填空题

1．设等差数列共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于　　　　　　　　　 . 75

2．在数列该数列所有项的和为，则的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．某工厂原来年总产值为a，以后连续两年平均以10%递增，若连续两年中第二年产值为b，则a占b的百分数是　　　　　。

4．数列中，　　　　。

5．已知、都是公差不为零的等差数列，且

则的值为　　　　。

6．已知数列是等比数列，若

且　　　　　 . 16

三、解答题

1．数列中，前n项和其中a,b是常数，且a>0,a+b>1,n∈N.

（1）求的通项公式，并证明；

（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.

解：（1）

当n=1时也能满足上式，∴

∴

（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值

又∵，∴.

∴

2．已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.

解：（1）∵当n≥2时，成等差数列

∴；∴

∴∵，∴

类似地∴

∴

（2）∵当n≥2时，，即

∴

②–①得　　 ∴为常数

∴，，，…，，…成等比数列.；其中

故

∴

（3）∵=

∴=

数列的综合应用(2)

【例1】　　　　　　　　已知函数具有下列性质：

　　（1）当n一定，记求的表达式

　　（2）对

解：（1）

即又

，即，由n为定值，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

，

由于

　（2），

欲证，

只需证明，

只需证明

【例2】　　　　　　　　已知函数f(x)=

（1）求f(x)的反函数f^－1(x)的表达式；

（2）数列中，a₁ =1；a_n =f^－1(a_n_－1)(nÎN，n≥2)，如果b_n =(nÎN)，求数列的通项公式及前n项和S_n；

（3）如果g(n)=2S_n－17n，求函数g(x) (xÎR)在区间[t,t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。

解：（1）

　∴f^－1(x)=

（2）

∴　∴

是以1为首项，公差为1的等差数列　　

（3）g(n)=2Sn－17n=n²－16n　　xÎR

∴g(x)函数图像是以顶点M（8，－64）且开口向上的抛物线

(i)当t>8时，g(x)在[t,t+2]上是增函数　　∴h(t)=g(t)=t²－16t

(ii)当t+2<8时，g(x)在[t,t+2]是减函数　　∴h(t)=g(t+2)=t²－12t－28

(iii)当6≤t≤8时　　h(t)=g(8)=－64

∴

【例3】　　　　　　　　在数列{a_n}中，已知

（1）求证：；（2）求证：；

（3）若存在，使得，求证：。

解：（1）证明：

当，命题成立。

假设时，命题成立，即

则

由归纳假设，则，由平均值定理得

所以时也成立

因此，对任意自然数n，都有

（2）证明：；由（1），

又

（3）证明：由及得

由此得；于是

又，解得

【例4】　　　　　　　　已知数列{a_n}满足a₁＝2，对于任意的n∈N，都有a_n＞0，且(n＋1)a＋a_na_n_＋₁－na＝0，又知数列{b_n}:b₁＝2ⁿ^－¹＋1。(1)求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n；(2)求数列{b_n}的前n项和T_n；(3)猜想S_n和T_n的大小关系，并说明理由.