08高考数学第二轮复习集合与简易逻辑
一、【重点知识结构】
二、【高考要求】
1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
2. 理解ax+b<c,ax+b>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.
3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.
4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.
三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.
五、【例 题】
【例1】
设
，求集合A与B之间的关系。
解：由
，得A=
∴A=B
【例2】
已知集合A=
，集合B=
，若B
A，求实数p
的取值范围。
解：若B=Φ时，
若B≠Φ时，则
综上得知：
时，BA。
【例3】
已知集合
，集合B=
。如果
，
试求实数a的值。
解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；
当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ
当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ
当a≠±1时，集合A：
，
，只有
才满足条件。
故
；解得：a=－5或a=
∴a=1或a=或a=－1或a=－5。
【例4】
若集合A=
，B=
，且
，求实数x。
解：由题设知
，∴
，故
或
即
或
或
，但当时，
不满足集合A的条件。
∴实数x的值为
或
。
【例5】
已知集合A=
，B=
，若
，求实数m的值。
解：不难求出A=
，由
，又
，
①若
，即
，则
②若
，即
，
，
∴
故由①②知：m的取值范围是
注：不要忽略空集是任何集合的子集。
【例6】
已知集合A={
}，B=
，C=
，
若
与
同时成立，求实数a的值。
解：易求得B=
，C=
，由知A与B的交集为非空集。
故2，3两数中至少有一适合方程
又，∴
，即
得，a=5或a=－2
当a=5时，A=，于是
，故a=5舍去。
当a=－2时，A=
，于是
，∴a=－2。
【例7】
，
，A∪B=A，求a的取值构成的集合。
解：∵A∪B=A，∴
，当
时
，∴-4<a<4，
，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时
，a=5舍去，∴-4<a≤4。
【例8】
已知，
且A∪B=A，求实数a组成的集合C。
解：由A={1，2}，由A∪B=A，即
，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。
另外显然有当a=0时， 也符合。所以C={0，1，2}。
【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。
解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人
如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。
【例10】
（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于
的不等式
的解集，且M中的一个元素是0，求实数
的取值范围，并用表示出该不等式的解集.
解：原不等式即
，
由
适合不等式故得
，所以
，或
.
若，则
，∴
，
此时不等式的解集是
；
若，由
，∴
，
此时不等式的解集是
.
【例11】 （2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知
，设命题
，命题
.试寻求使得
都是真命题的的集合.
解：设
，
依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合
，
∵
∴若
时，则有
，
而
，所以
，
即当时使都是真命题的
；
当
时易得使都是真命题的
；
若
，则有
，
此时使得都是真命题的
．
综合略.
【例12】
（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件
和条件
，请选取适当的实数
的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足
，且
1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件
即
，或
，∴
，或
，
已知条件
即
，∴
，或
；
令
，则即
，或，此时必有
成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
【例13】
已知
；¬是¬的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
解：由
得
，
由
，得
，
∴¬即
，或
，而¬即
，或
；
由¬是¬的必要不充分条件，知¬
¬，
设A=
，B=
，
则有A
，故
且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得
，此即为“¬是¬的必要不充分条件”时实数的取值范围.
【例14】
（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数
，其中
.
（1）判断函数的增减性；
（2）（文）若命题
为真命题，求实数的取值范围.
（2）（理）若命题
为真命题，求实数的取值范围.
解：（1）∵，∴
，
即
，∴函数
是增函数；
（2）（文）即
，必有
，
当
，
，不等式化为
，
∴
，这显然成立，此时；
当
时，
，不等式化为
，
∴
，故
，此时
；
综上所述知，使命题
为真命题的的取值范围是
.
（2）（理）即
，必有，
当
时，
，不等式化为
，
∴
，故
，∴
，此时
；
当
时，
，不等式化为，
∴，这显然成立，此时；
当时，
，不等式化为，
∴，故，此时；
综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是
.
六、【专题练习】
一、选择题
1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：（D）
A．MÍ(
) B．MÊ() C．
D．
2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）
A．
B．
C． 
D．
3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．满足｛a｝
X
｛a,b,c｝的集合X的个数有 （ B ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5．已知集合I、P、Q适合I=P
Q=｛1，2，3，4，5｝，P
Q=｛1，2｝则（PQ）（
）
为（ C ）
（A）｛1，2，3｝ （B）｛2，3，4｝ （C）｛3，4，5｝ （D）｛1，4，5｝
6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则 （ B ）
（A） （B）
（C）M()
（D）M
()
7．设P=｛x x≥-2｝,Q=｛x
x≥3｝，则PQ等于 （ D ）
（A）Æ （B）R （C）P （D）Q
8．设集合E=｛nn=2k , k
Z｝，F=｛nn=4k , kZ｝，则E、F的关系是 （
B ）
（A）EF
（B）E
F （C）E=F （D）EF=Æ
9．已知集合M=
，N={ x x -1≤2}，则MN等于 （ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．已知集合I=R，集合M={ x
x =
，n
N}，P={ x x =
，nN}，则M与P的关系是 （
B ）
（A）MP=Æ （B）
P=Æ （C）M
=Æ （D）=Æ
11．已知集合A={yy=
, x R},B={yy=
x R},则AB等于 （ C ）
（A）{2，4} （B）{（2，4），（4，16）}
（C）{ yy ≥0} （D）{ x x<0}
12．设全集I=R，集合P=
，集合Q={ x x+4>0}，则 （ D ）
（A）PQ=Æ （B）PQ=R
（C）Q= （D）
={-4}
二、解答题
1、设A=
，B=
；若AB，求实数a的取值范围。
解：由图象法解得：
当a>0时，
；
当a≤0时，
∴要使得AB，必须且只须
，解得
2、已知A=
，B=
。若AB，求实数a的取值范围。
解：易得
，由
得
⑴当3a+1>2，即
时，
要使AB，必须
，
⑵当3a+1=2，即
时，
；要使AB，a=1
当3a+1<2，即
时，
⑶要使AB，必须
综上知：
或
3、已知集合A=
，B=
，且
，求实数
m的值。
解：
，
，由
得：
4、已知集合A=
，B=
；若
，求实数a的取值范围。
解：B=
，由
得：
因为
，所以A=
。
由得：
或
所以
5、已知集合
，
同时满足
①，②
，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。
解：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但
，A、B是两个方程的解集，方程
和
的根的关系的确定是该题的突破口。
设
，则
，否则将有q=0与题设矛盾。于是由
，两边同除以
，得
，
知
，故集合A、B中的元素互为倒数。
由①知存在，使得，且
，得
或
。
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。
若A={1，-2}，则
，
有
同理，若A={-1，-2}，则
，得p=3，q=2。
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。
6、已知关于x的不等式
，
的解集依次为A、B，且
。求实数a的取值范围。
解：
，B={x（x-2）[x-（3a+1）]≤0}
∵
①当3a+1≥2时，B={x2≤x≤3a+1}
∴3a+1<2a或
，∴
②当3a+1<2时，B={x3a+1≤x≤2}
∴2a>2或
，∴
7、已知集合
，若
，且
，求实数a。
解：∵A∪B=A，∴。
∵A={1，2}，∴
或B={1}或B={2}或B={1，2}。
若，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；
若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根，
∴不存在实数a使原方程有解；
若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，
此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。
综上所述，实数a的值为2或3。