高考数学递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1 
解法：把原递推公式转化为
，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列
满足
，
，求
。
解：由条件知：
分别令
，代入上式得
个等式累加之，即
所以
，
类型2 
解法：把原递推公式转化为
，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足
，
，求。
解：由条件知
，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又
，
例3:已知
，
，求。
解：
。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，
(n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得
，用此式减去已知式，得
当
时，
，即
，又
，
，将以上n个式子相乘，得
类型3 
（其中p，q均为常数，
）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：
，其中
，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列
中，
，
，求.
解：设递推公式可以转化为
即
.故递推公式为
,令
，则
,且
.所以
是以
为首项，2为公比的等比数列，则
,所以
.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列
中，若
，则该数列的通项
_______________
（key:）
类型4 
（其中p，q均为常数，
）。 （或
,其中p，q, r均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
，得：
引入辅助数列（其中
），得：
再待定系数法解决。
例5:已知数列中，
,
，求。
解：在两边乘以
得：
令
，则
,解之得：
所以
类型5 递推公式为
（其中p，q均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式
，
给出的数列，方程
，叫做数列的特征方程。若
是特征方程的两个根，当
时，数列的通项为
，其中A，B由决定（即把
和
，代入，得到关于A、B的方程组）；当
时，数列的通项为
，其中A，B由决定（即把和，代入
，得到关于A、B的方程组）。
例6: 数列：
， 
,求
解（特征根法）：的特征方程是：
。
,
。又由，于是
故
练习:已知数列中，,
,
，求。
。
变式:（2006，福建,文,22）
已知数列满足
求数列的通项公式；
（I）解： 
类型6 递推公式为
与的关系式。(或
)
解法：利用
与
消去 或与
消去进行求解。
例7：数列前n项和
.（1）求
与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以
.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由
.于是数列
是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7 
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为
，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛｝中，
，求数列
解：由
两边取对数得
，
令
，则
，再利用待定系数法解得：
。
类型8 
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
。
例9：已知数列｛an｝满足：
，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
变式:（2006，江西,理,22）
已知数列｛an｝满足：a1＝
，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－
＝
，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－
＝
，公比，从而1－＝
，据此得an＝
（n³1）
类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列满足
，若
，则
的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列
满足
，则= （ ）
A．0 B．
C．
D．