08高考数学第一次模拟测试
2008.3.21
一：填空题（每题5分，共70分）
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2、当x = 3时，右面算法输出的结果是 。
3、已知双曲线
的一条渐近线方程为y = x，
则实数m= 。
4、在复平面内，复数z=
对应的点位于第
象限。
5、有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为 辆。
6、一个几何体的三视图如图所示，则它的体积V= 。
7、设直线x = m分别交函数y = sinx、y = sin(x+
)的图象于M、N两点，则M、N距离的最大值为 。
8、在正三棱锥P – ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列三个结论：
（1）AC⊥PB；（2）AC∥平面PDE；（3）AB⊥平面PDE。
则所有正确结论的序号是 。
9、已知向量
，向量
满足∥
，=1, 则 =
。
10、已知曲线y =
上一点P(1, e)处的切线分别交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，则ΔOAB的面积为 .
11、有一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字。现将
它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为 。
12、设S n表示等比数列{a n }(n∈N*)的前n项和，已知
=3，则
= 。
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 |
则这个式子为 。
14、水管或煤气管的外部经常需要包扎，已便对管道起保护
作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。若要使带子
全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，
如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”
（
指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面
母线的一部分）。若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为 。
二：解答题
15、（本题满分14分）
在ΔABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x 2cosC + 4xsinC + 6≥0对一切实数x恒成立。
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a = 2b，求角B的大小。
16、（本题满分14分）
已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45o，DE⊥AB（如图1）。现将ΔADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点。
（1）求证：BC⊥平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明理由。
 | |||
| |||
17、（本题满分15分）
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为
。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E(3, 0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，
满足EP⊥EQ，求
的取值范围。
18、（本题满分15分）
在平面直角坐标系中，直线y = –2x + 5上有一系列点：P0 (1, 3), P1 (x1, y1), P2 (x2, y2),
……，P n (x
n , y n),
……，已知数列{
}是首项为
，公差为1的等差数列。
（1）求数列{x n} (n∈N*)及数列{y n} (n∈N*)的通项公式；
（2）是否存在一个半径最小的圆C，使得对一切n∈N*，点P n (x n , y n)均在此圆的内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由。
19、（本题满分16分）
某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x (x∈N*, 80≤x≤100)件之间的关系如下表所示：
| 日产量x | 80 | 81 | 82 | … | x | … | 98 | 99 | 100 |
| 次品率p |
|
|
| … | P (x) | … |
|
|
|
其中P (x)= 
（a为常数）。已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元
（k为给定的常数）。
（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；
（2）为获取最大盈利，该厂的日生产量应定为多少件？
20、（本题满分16分）
已知a为实数，函数f (x) = x 2 – 2 a l n x。
（1）求f (x)在
上的最小值g (a)；
（2）若a > 0，试证明“方程f (x) =2 a x有惟一解”的充要条件是“a=”。
参考答案
一：填空题
1、{x2<x<4} 2、6 3、4 4、四 5、
38 6、6 7、
8、（1）（2） 9、
或(
) 10、2e 11、
12、7
13、(n2 – n +1) + [(n2 –
n +1) +2]+[ (n2 – n +1)
+4]+ … +[(n2 – n +1) +2(n – 1)]= n3 14、
二：解答题
15、解：（1）由条件知，当cosC=0时，不合题意； …………1分
当cosC≠0时，
…3分
所以cosC≥,因为C为ΔABC的内角，所以0<C≤
,所以角C的最大值为。…7分
(2)由（1）得C=，所以A+B=
，由a = 2b得sinA=2sinB
…………9分
所以sin（– B）=2sinB，即cosB+sinB=2sinB，得tanB=
…………12分
|
因为B∈（0，），所以B=
。
…………14分
16、证明：（1）在图1中，
过C作CF⊥EB，
|
所以四边形CDEF是矩形，
|
|
AB=3，所以AE=BF=1，因为∠BAD=45o，
所以DE=CF=1，连接CE，则CE=CB=，
因为EB=2，所以∠BCE=90o。 则BC⊥CE。 …………2分
在图（2）中，因为AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，所以AE⊥平面BCDE，
因为BC
平面BCDE，所以AE⊥BC， …………4分
因为AE∩CE=E，所以BC⊥平面AEC；
（2）用反证法：假设EM∥平面ACD，
因为EB∥CD，CD平面ACD，EB
平面ACD，所以EB∥平面ACD， ………8分
因为EB∩EM=E，所以平面AEB∥平面ACD， …………10分
而A∈平面AEB，A
平面ACD，所以假设不成立，
所以EM与平面ACD不平行。 …………14分
17、解：（1）由离心率e=
，得
，所以a = 2b①
………2分
因为原点O到直线AB的距离为，所以
② …………4分
由①代入②得b2=9，所以a2=36，则椭圆C的标准方程是
…………7分
（2）因为EP⊥EQ，所以
=0，所以
…9分
设P(x , y)，则，即y 2 =9–
……11分
所以=
…13分
因为–6≤x≤6，所以6≤
+6≤81，所以的取值范围为[6，81]…15分
18、解：（1）由条件得
…………2分
所以
…………4分
因为点P n (x n , y n)在直线y = –2x + 5上，
所以
…………6分
（2）存在一个以P0，P1为直径的圆C，使得对一切n∈N*，点P n (x n , y n)均在此圆的内部（包括圆周），此时圆的方程为(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 5，并且圆的半径最小,…8分
现证明如下：因为
当n=0时，P0D2=5，当n=1时，P1D2=5，
当n≥2时，因为0
≤
，所以PnD2=5（1 – 
）2<5， ……14分
由上可得，圆C即为所求的圆。 …………15分
19、解：（1）根据列表数据可得
，
…………2分
由题意，当日产量为
时，次品数为
，正品数为
，……4分
。
…………6分
整理，得
…………8分
（2）令
。
…………12分
当且仅当
，即
时取得最大盈利，此时
。
…………14分
答：（1）
（2）为获得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件。 …………15分
20、解：（Ⅰ）
①若
，则
，
在
上连续，
在上是单调传递增函数。
当
时，
…………2分
②若
，令
，得
当
时，
<0, f(x)在上连续，f (x)在
上是单调递减函数；
当
时，>0, f (x)在
上是单调递增函数
则时，f (x)取得最小值。
所以, 当a>1, x≥1时，f (x) min = a – 
=a – a lna, …………4分
所以
…………5分
（Ⅱ）记g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax,
,
（1）充分性：若a = ，则g (x) = x 2 – lnx – x ,
…………7分
当x∈(0, 1)时，
<0, g (x)在(0, 1)上是单调递减函数；
当x∈(1, +∞)时，>0, g (x)在(1, +∞)上是单调递增函数。
当x=1时，即，当且仅当时取等号。
方程有唯一解，g(x)min=g(1)=0,即
有唯一解。
…………9分
（2）必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；
令
,得
（舍去）
当
时，
,
在
是单调递减函数；
当
时，
,在
上是单调递增函数。
当x=x2时, 
,
…………11分
有唯一解，
则
，即
…………12分
…………14分
设函数
，
∵在x>0时, h (x)是增函数，∴h (x) = 0至多有一解。
∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解为x 2 = 1，即
，解得
。
由(1)(2)知“方程f (x)
= 2ax有唯一解”的充要条件是“”
…………16分