08高考数学第一次诊断性测验科试卷（文理合卷）
(问卷)
（文科：必修+选修Ⅰ；理科：必修+选修Ⅱ）
注意事项：
1．本卷是文理科数学合卷，卷中注明(文科)的 ,理科学生不做；注明(理科)的 ,文科学生不做；未注明的文理科学生都要做．
2．本卷分为问卷（共4页）和答卷（共4页），答案务必书写在答卷的指定位置处．
3．答卷前先将密封线内的项目填写清楚．
4．第Ⅰ卷（选择题，共12小题，共60分），在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．如果选用答题卡，每小题选出答案后，用
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡请将所选项前的字母代号填写在答卷上．不要答在问卷上．
5. 第Ⅱ卷（非选择题，共10小题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在问卷中．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（文科）不等式
的解集是
Ａ．
B．
C．
D．
（理科）复数
的虚部是
A．
B．
C．
D．
2．设集合
，则
Ａ．
B．
C．
D．
3．等比数列
中，若 
，
，则公比
A．
B．
C．
D．
4．双曲线
的渐近线与准线的夹角是
A．
B．
C．
D．
5．已知直线
和平面
,则
∥
的一个必要非充分条件是
A． ∥、∥ B．
⊥、⊥
C．
∥、
D． 与成等角
6．若直线
与函数
的图像分别交于M、N两点，则
的最大值为
A．1 B．
C．
D．2
7．在正方体
中，直线
与平面
所成角的正切值为
A．
B． C． D．
8．将指数函数
的图像按向量
=
平移后得到右图，则
=
A．
B．
C．
D．
9.对于
上可导的任意函数，若满足
，则必有
A．
B．
C．
D．
10．过抛物线
的焦点
作斜率为
的直线交抛物线于
、
两点，则点分
所成的比值为
A．
B． C．
D．
11. （文科）某校高一、高二、高三年级的人数之比为
，从中抽取
名学生作为样本，若每人被抽取的概率是
，则该校高三年级的人数为
A．
B．
C．
D．
（理科）某校
名同龄学生的体重
服从正态分布
，
且
正态分布的密度曲线如图所示，若
～
体重属于正 常情况， 则这名学生中体重属于正常情况的人数约是（其中
）
A．
B．
C．
D．
12．用4种不同的颜色对圆上依次排列的，，
，
四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在问卷的相应表格中．
13．锐角
满足
，则大小是 ．
14．在
的展开式中
的系数是 （用数字作答）．
15．若函数
，当
时，
，则
的取值范围是 ．
16．在
中，
，
，
⊥
于，
若
，则有序实数对
= ．
三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知
，其中
．
（1）若
，求
；
（2）求函数的单调递增区间．
18．（本题满分12分）
如图，在正方体
中，
是
的中点，
是侧面
的中心．
⑴ 证明
⊥
；
⑵ 求二面角
的大小（用反三角函数表示）．
19．（本题满分12分）
设动点
与两定点
，
的距离之比为
．
⑴ 求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么；
⑵ 若轨迹与直线
只有一个公共点，求的值．
20. （本题满分12分）
已知数列的前项和为
，且对任意正整数,都有
是与的等差中项．
⑴ 求证
；
⑵ （文科）求数列的通项公式．
（理科）求证 
．
21．（本题满分12分）
有三个盒子，第一个盒里装有4个红球和1个黑球，第二个盒里装有3个红球2个黑球，第三个盒里装有2个红球3个黑球．如果先从这三个盒子中任取一个，再从中取出的盒子中任取3个球，以
表示所取到的红球个数，求
（文科）
的概率及
的概率．
（理科）的概率分布列及其数学期望．
22．（本题满分12分）
（文科）
，
．
⑴ 当
时，求
的最小值；
⑵ 若在
上是单调函数，求的取值范围．
（理科）已知函数
．
⑴ 当时，求的最小值；
⑵ 若在上是单调函数，求的取值范围．
文理科数学（答卷）
（文科：必修+选修Ⅰ；理科：必修+选修Ⅱ）
| 题 号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 得 分 | |||||||||
第Ⅰ卷
| 得分 | 评卷人 | 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分） |
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 选 项 |
第Ⅱ卷
| 得分 | 评卷人 | 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在题号后的横线上． |
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
| 得分 | 评卷人 | 17．（本题满分10分） |
| 得分 | 评卷人 | 18．（本题满分12分） |
| 得分 | 评卷人 | 19．（本题满分12分） |
| 得分 | 评卷人 | 20．（本题满分12分） |
| 得分 | 评卷人 | 21．（本题满分12分） |
| 得分 | 评卷人 | 22．（本题满分12分） |
文理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 选 项 | 文 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 文 |
|
1．（文科）选D．原不等式可化为
，解得 
（理科）选A．
2．选B．∵
，
∴
3．选B．∵
∴
4．选C．∵双曲线的渐近线为
，准线为
， 故夹角是
5．选D．其中A、C既非充分也非必要条件，B充分非必要条件
6．选B．∵=
∴
7．选C．设与平面交于点（是与
的交点），
，易证
⊥ ，⊥
，即⊥平面，于是
就是所求角．
8．选A．设
，它按=平移后得到
，由图知它过点
，代入得
∴=
9．选A．由 得
或
即
时为增函数， 
时为减函数，所以
10．选D．∵
∴直线的方程为
，由
，
得
，
；或
，
∴由
，得
，或
11．（文科）选A．设每一份为
人，则共有
人，由
，得
所以，高三年级共有
人
（理科）选A．令
∵～ ∴
～
∴
=
=
=
∴体重属于正常情况的人数约是
12．选C．不妨先染点，有种方法，再染点，有种方法，若点与点同色，则点有3种方法；若点与点不同色，则点有种染法，点也有种染法．所 以共有
种方法
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．
13．由已知可得
，而 
∴
，
14．
15．∵
， 又∵时，
即时
∴
16．∵
∴=
三、解答题（共6小题，共70分）
17．=
=
∵ ∴
,
（1）由得
∴
或
∴
或
…6分
（2）当
, 
时, 随增大而增大,
所以递增区间为 
, 
…10分
18．解法一：
⑴过点作
⊥于，连接
，
由已知及正方体的性质，易知⊥平面
，
且是的中点，⊥
，
所以⊥
…４分
⑵过点作
⊥
于
，连接
．
∵⊥平面，⊥，
平面．∴⊥，
于是
就是二面角 的平面角．
设
，在
中，
在
中
∴二面角的大小为
…12分
解法二：如图建立直角坐标系，设正方体的棱长为
，则
，
，
，
，
，
，
．
所以
，
，
，
，
．
⑴∵
∴
⊥
，即⊥． …4分
⑵易知平面
的一个法向量是
，
设平面
的法向量为
，则
⊥
,⊥
，于是
即
，令
，∴
∴
∴二面角
的大小为
（或）． …12分
19．设点
，由题意，得
，即
整理得
（1）当
时，点的轨迹方程为
，表示的轨迹是线段
的垂直平分线
当
时，，可化为
表示的是以
为圆心，
为半径的圆;
…6分
（2）当时，点的轨迹方程为与直线只有一个公共点
符合题意．
当时，圆与直线只有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径．
即
，解之，得
故当或时，轨迹与直线只有一个公共点． …12分
20．(1)∵是与的等差中项，∴
，
于是
两式相减得
即
∴ …4分
(2)（文科）当
时，
即 
∴
∴ 
∴ 
当
时，由 得 
∵
∴
即
是以为首项，以为公比的等比数列
∴
∴
…12分
（理科）当时， 即 ∴，∴
当时，∵
∴当时，
=
=
∴
…12分
21．设
表示从三个盒子中取出第个盒子时，
的概率，
；
∵从三个盒子中任取一个盒子的概率为
∴
=
=
=
（文科）∴
，
…12分
（理科）依题意知
，
=
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴
…12分
22.（1）时，
（文科）
当
当
故
…3分
（理科）
当
当 故
…3分
（2）（文科）
（理科）
令
∵
∴文理科有以下相同的结论．
（ⅰ）时，
，则
,于是符合要求；
（ⅱ）
时，，
∴
，
，即
于是符合要求；
（ⅲ）
时，对
，
要使
是单调函数，则只可能是单调递减的．
故△
，或
由（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）可知
．
…12分
以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．